Формула за общия член

[estoyanovvd]

Намерете формулата за общия член на редицата {[tex]a_{n}[/tex]}, за която [tex]a_{1}=\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}[/tex], [tex]a_{n+1}=\frac{a_{n}^{2}-5}{2(a_{n}+2) }[/tex].

[martin123456]

полагаме [tex]b_n=a_{n+1}+2[/tex]
редицата става [tex]b_n=\frac{b^{2}_{n-1}-1}{2b_{n-1}}[/tex].
полагаме [tex]b_n=cotgx_n[/tex].
от формулата [tex]cotg{2\alpha}=\frac{cotg^2\alpha-1}{2cotg\alpha}[/tex] следва [tex]cotgx_n=cotg2x_{n-1}[/tex], откъдето следва [tex]\sin{(x_n-2x_{n-1})}=0[/tex]. считаме че [tex]x_n=2x_{n-1}[/tex]. с индукция по n следва [tex]x_n=2^narcctg(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2)[/tex]=>[tex]a_n=b_{n-1}-2=cotg(2^{n-1}arcctg(\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+2))-2[/tex].

[estoyanovvd]

Можеш ли да махнеш арккотангенса?

[martin123456]

[tex]\frac{\pi}{24}[/tex]