Китай 1983

[ptj]

За четириъгълника [tex]ABCD[/tex] лицата на триъгълниците [tex]ABD[/tex],[tex]BCD[/tex],[tex]ABC[/tex] се отнасят както 3:4:1. На отсечките [tex]AC[/tex] и [tex]CD[/tex] съответно са избрани вътрешни точки [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] така, че [tex]\frac{AM}{AC }=\frac{CN}{CD }[/tex]. Да се докаже, че т.[tex]B[/tex] лежи на правата [tex]MN[/tex] тогава и само тогава, когато [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са среди на [tex]AC[/tex] и [tex]BD[/tex].

[ganka simeonova]

ptj, след малко ще направя чертеж и ще пусна решение.

[ganka simeonova]

Задачата е изцяло метрична. Понеже имам проблем с писането на голямо ем от клавиатурата, ще ползвам точка L..
1) Нека L и N са среди. Ще док, че В лежи на LN.
От лицата =>
[tex]AP=3x; PC=4x; AC=7x; AL=CL=3,5x=>PL=0,5x; BP=y; DP=6y;[/tex]
[tex]NL=b; AD=2b[/tex]
Построяваме [tex]NT//PD=>NT=3y[/tex]
[tex]LT=CL-CT=1,5x[/tex]
Разглеждаме [tex]\Delta BPL; \Delta LTN[/tex]
[tex]1)\angle BPL=\angle LTN; 2) \frac{BP}{PL } =\frac{NT}{ LT}[/tex]=> са подобни=>
[tex]\angle PLB=\angle NLT=>B; L; N[/tex] лежат на една права

2) [tex]B\in LN[/tex]
Озн. [tex]\frac{AL}{LC } =\frac{CN}{ND } =k=>AL=\frac{k}{k+1 } .7x; LC=\frac{1}{k+1 } 7x=>PL=\frac{4k-3}{ k+1}x[/tex]

Също така озн. [tex]CN=kz; ND=z[/tex], но [tex]\frac{NT}{DP } =\frac{CN}{CD } =>[/tex]

[tex]NT=\frac{6yk}{k+1 }[/tex]; [tex]LT=CL-CT=\frac{(7-4k)x}{ k+1}[/tex]

Oт подобието на [tex]\Delta BPL; \Delta NLT=>\frac{PB}{NT } =\frac{PL}{LT } =>[/tex]

[tex]\frac{k+1}{6k } =\frac{4k-3}{7-4k } =>4k^2-3k-1=0=>k=1[/tex]

[ptj]

Приема се.

Оригиналното решение е с векторно произведение (ориентирано лице).

[ganka simeonova]

Приема се.

Оригиналното решение е с векторно произведение (ориентирано лице).

Ще е интересно, ако го покажеш това решение!

[ptj]

Ориентирано лице:
[tex][A_1A_2A_3]=\varepsilon \frac{\vec {A_1A_2} \wedge \vec {A_1A_3}}{2 }[/tex]

където [tex]\varepsilon= \pm 1[/tex], в зависимост от това дали вектора [tex]\vec {A_1A_2} \wedge \vec {A_1A_3}[/tex] е еднопосочен с предварително зададен нормален вектор за равнината.

Ще използваме също:
(*) Ако [tex]A_3 \in BC[/tex] и [tex]\overline {BA_3} :\overline {A_3C}=p:q[/tex] , то [tex][A_1A_2A_3]=\frac{p[A_1A_2B]+q[A_1A_2C]}{p+q }[/tex].

Решение:

Нека [tex]\frac{AM}{AC }=\frac{CN}{CD }=k>0[/tex]. След двукратно прилагане на (*) получаваме

[tex][BMN]=\frac{1}{k+1 }[BAN]+\frac{k}{k+1 }[BCN]=\frac{1}{(k+1)^2 } [BAC]+\frac{k}{(k+1)^2 }[BAD]+\frac{k^2}{(k+1)^2 }[BCD][/tex]

Условието [tex]B \in MN[/tex] е еквивалентно на [tex][BMN]=0[/tex], т.е. на

[tex][BAC]+k[BAD]+k^2[BCD]=0[/tex].

Тъй като [tex][BAC]:[BAD]:[BDC]=1:3:4[/tex], получаваме квадратното уравнение
[tex]4k^2-3k-1=0[/tex], което има само един положителен корен [tex]k=1[/tex].

Следователно [tex]B \in MN[/tex] точно когато [tex]M[/tex] и [tex]N[/tex] са среди съответно на [tex]AC[/tex] и [tex]CD[/tex].

[ganka simeonova]

Ориентирано лице:
[tex][A_1A_2A_3]=\varepsilon \frac{\vec {A_1A_2} \wedge \vec {A_1A_3}}{2 }[/tex]

където [tex]\varepsilon= \pm 1[/tex], в зависимост от това дали вектора [tex]\vec {A_1A_2} \wedge \vec {A_1A_3}[/tex] е еднопосочен с предварително зададен нормален вектор за равнината.

Ще използваме също:
(*) Ако [tex]A_3 \in BC[/tex] и [tex]\overline {BA_3} :\overline {A_3C}=p:q[/tex] , то [tex][A_1A_2A_3]=\frac{p[A_1A_2B]+q[A_1A_2C]}{p+q }[/tex].

Решение:
...

Еее, страшно решение на една елементарна задача с метрика и то за 9 клас!

[ptj]

Ганке, стига си спамила.

П.П. Прекъснах решението, защото разговарях по скайп.

[ganka simeonova]

Аз не спамя. Но да пускаш решение за 9- 12 клас и то с векторно произведение и ориентирано лице ( дори и да е произведена в Китай), е леко казано несериозно!

[ptj]

Ти няма ли да я затвориш тая голяма уста накрая, пиши си задачите и спести изличните коментари.

П.П. Ако не си забелязала темата ми не е за 9-ти клас.

[ganka simeonova]

Ти няма ли да я затвориш тая голяма уста накрая, пиши си задачите и спести изличните коментари.

Аз си пиша задачите, както виждаш
И то доста прилично!Без векторни произведения!

[martin.nikolov]

Аз не спамя. Но да пускаш решение за 9- 12 клас и то с векторно произведение и ориентирано лице ( дори и да е произведена в Китай), е леко казано несериозно!

Не 9-12 клас, а олимпиади за 9-12. Решението си е много подходящо и интересно. Определено олимпиец може да научи нещо полезно за състезанията. Освен това, предполагам, че това е авторовото решение, значи е съобразено с това за кого е задачата.

[martin.nikolov]

Айде пак почнахте вие двамата. Нали ви предложих да не си отговаряте един на друг, ако не може да се въздържате си пишете на лични бележки. Или помолете админа да ви банне за няколко дни докато се успокоите.

[ganka simeonova]

Аз не спамя. Но да пускаш решение за 9- 12 клас и то с векторно произведение и ориентирано лице ( дори и да е произведена в Китай), е леко казано несериозно!

Не 9-12 клас, а олимпиади за 9-12. Решението си е много подходящо и интересно. Определено олимпиец може да научи нещо полезно за състезанията. Освен това, предполагам, че това е авторовото решение, значи е съобразено с това за кого е задачата.

Съобразено е с китайската програма!
Абе хора, я се осъзнайте!
И ако ми посочите поне един такъв състезател, посещаващ форума, шапка ви свалям.
Стоп на спама!

[martin.nikolov]

Съобразено е с китайската програма!
Абе хора, я се осъзнайте!
И ако ми посочите поне един такъв състезател, посещаващ форума, шапка ви свалям.
Стоп на спама!

Съобразено е със съзтезател от съответното ниво, не само китайци. Ти можеш ли да посочиш един 9-12-токласник в тази тема, че държиш мненията да се съобразяват с тях? Твоето решение е по същество същото. Неговото е просто формализирано, което само по себе си не е лошо. В олимпиадните задачи се срещат къде къде по-словни неща от векторно произведение.

Междо другото спама е една от причините да няма такива състезатели тук. И това, че хората които могат да напишат компетентно мнение се броят на пръсти. Като преглеждам назат из темите не виждам нови попълнения на такива потребители, но се забелязват такива които вече не идват тук. Но хайде да не отваряме стара рана.

[ganka simeonova]

Точно защото няма такива състезатели за 9- 12 клас, посещаващи темата, поне не такива, които пишат!
И ще ти кажа още нещо- много хора напуснаха форума, не заради "спама".
А, защото красивите решения стават все по- малко и красивите задачи- все по- малко.
Но нали всички трябва да сме грандомани- да решаваме красиви задачи сложно; да намираме максимална стойсност на квадратна ф-я с производна и то за 10 клас и пр. други "красиви" решения.

[ins-]

viewtopic.php?f=10&t=3820
и Лагранж не вярвам да се учи в 9-12 клас, но това не прави решението лошо.
Знам също, че много хора казват, че тригонометрично решение не може да е красиво,
но и това не е вярно. Всеки метод си има нещо хубаво. При неизучаваните в училище се
иска повече занимания със странична литература. При виртуозна работа с класически учебен
материал се иска много много опит, така че просто качествата са различни, но всичко е
свързано с труд. Според мен, спорите излишно, но не ангажирам никого с мнението си.

[martin.nikolov]

Точно защото няма такива състезатели за 9- 12 клас, посещаващи темата, поне не такива, които пишат!
И ще ти кажа още нещо- много хора напуснаха форума, не заради "спама".
А, защото красивите решения стават все по- малко и красивите задачи- все по- малко.
Но нали всички трябва да сме грандомани- да решаваме красиви задачи сложно; да намираме максимална стойсност на квадратна ф-я с производна и то за 10 клас и пр. други "красиви" решения.

Именно, аз в "спам" включвам всички въпроси "моля решете ми домашното" и най-вече отговорите на такива въпроси. И тук вина имат всички които участват в тези теми. Това включва като мен така и теб. Сега съжалявам, че се оставих да бъда въвлечен във вашия спор. Хубост на силна не става. Лошото обаче е, че не се включват повече хора.

[amsara]

Именно, аз в "спам" включвам всички въпроси "моля решете ми домашното" и най-вече отговорите на такива въпроси. И тук вина имат всички които участват в тези теми. Това включва като мен така и теб. Сега съжалявам, че се оставих да бъда въвлечен във вашия спор. Хубост на силна не става. Лошото обаче е, че не се включват повече хора.

Ако съвсем не съществува раздела за решаване на домашни или пък не се отговаря на никой от зададените в него въпроси, то форумът ще е интересен и посещаван единствено от силно изявени математици-състезатели , студенти по математика и учители. А истината е, че дори и сред тези ,които питат за проблеми с домашното, има хора, които харесват математиката и не са тук само с намерението да се сдобият наготово с решението. Неведнъж през миналата година съм молила за помощ или насоки за решения, но това винаги е било след като солидно съм се помъчила да се справя сама с конкретната задача.Има още доста хора като мен във форума, които хем харесват математиката, хем не са в графата "супер математици". Кофти е някак да бъдат пренебрегнати само защото не са с уменията на състезатели от олимпиади.Пък и честно казано си мисля, че е гот за знаещия да напише някакъв жокер на човек, който явно се е пробвал ама малко не му е стигнало.Пък дори и задачата да е от домашно.Не е същото като да решиш на някого куп еднотипни елементарни задачи и да си останеш с неприятното чувство, че някой те е използвал да му свършиш работата и пет пари не дава да разбере написаното.

[martin.nikolov]

Именно, аз в "спам" включвам всички въпроси "моля решете ми домашното" и най-вече отговорите на такива въпроси. И тук вина имат всички които участват в тези теми. Това включва като мен така и теб. Сега съжалявам, че се оставих да бъда въвлечен във вашия спор. Хубост на силна не става. Лошото обаче е, че не се включват повече хора.

Ако съвсем не съществува раздела за решаване на домашни или пък не се отговаря на никой от зададените в него въпроси, то форумът ще е интересен и посещаван единствено от силно изявени математици-състезатели , студенти по математика и учители. А истината е, че дори и сред тези ,които питат за проблеми с домашното, има хора, които харесват математиката и не са тук само с намерението да се сдобият наготово с решението. Неведнъж през миналата година съм молила за помощ или насоки за решения, но това винаги е било след като солидно съм се помъчила да се справя сама с конкретната задача.Има още доста хора като мен във форума, които хем харесват математиката, хем не са в графата "супер математици". Кофти е някак да бъдат пренебрегнати само защото не са с уменията на състезатели от олимпиади.Пък и честно казано си мисля, че е гот за знаещия да напише някакъв жокер на човек, който явно се е пробвал ама малко не му е стигнало.Пък дори и задачата да е от домашно.Не е същото като да решиш на някого куп еднотипни елементарни задачи и да си останеш с неприятното чувство, че някой те е използвал да му свършиш работата и пет пари не дава да разбере написаното.

Не уточних какво разбирам под "моля решете ми домашното" защото си мислех, че е ясно. Разбира се, че теми за домашно могат да са добри и полезни за много хора. И не мисля, че има някой против такива теми. Общо взето съм съгласен с теб.

[Станислав]

Междо другото спама е една от причините да няма такива състезатели тук. И това, че хората които могат да напишат компетентно мнение се броят на пръсти. Като преглеждам назат из темите не виждам нови попълнения на такива потребители, но се забелязват такива които вече не идват тук. Но хайде да не отваряме стара рана.

Само ще потвърдя Не смятах да пиша повече във форума, освен в крайни случаи, но реших, че ще е уместно. Ето това е причината не само аз, а и много от познатите ми да спрат да пишат във форума.

[martin.nikolov]

Междо другото спама е една от причините да няма такива състезатели тук. И това, че хората които могат да напишат компетентно мнение се броят на пръсти. Като преглеждам назат из темите не виждам нови попълнения на такива потребители, но се забелязват такива които вече не идват тук. Но хайде да не отваряме стара рана.

Само ще потвърдя Не смятах да пиша повече във форума, освен в крайни случаи, но реших, че ще е уместно. Ето това е причината не само аз, а и много от познатите ми да спрат да пишат във форума.

И именно това беше причината преди време да се предложи разделяне на клуба, но за съжаление не се усъществи.