Докажете неравенство 8(1/a+1/b+1/c) + 9 > 10(a^2+b^2+c^2)

[ins-]

Ако [tex]a, b, c > 0[/tex] и [tex]a+b+c=3[/tex]
Да се докаже неравенството:
[tex]8\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+9 \geq 10\left(a^2+b^2+c^2\right)[/tex]
Кога се достига равенство?

[ptj]

С неравенства между средните ([tex]a=b=c=1[/tex]) и [tex](a+b+c)^2=(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)[/tex]?

[edrenchev]

Като прехвърлим всично от ляво и чрез производна на функция да докажем, че най-малката стойност е ≥0

[ins-]

За аритметичните - не е така, за производна - кой знае - може и да стане.

[allier]

Ето едно (кратко) решение с множители на Лагранж. Очевидно минимум не може да се достига по границите (тогава лявата страна клони към безкрайност). Следователно е във вътрешна точка.
[tex]F = 8(\frac{1}{a } + \frac{1}{b } + \frac{1}{c }) + 9 - 10(a^2+b^2+c^2)+\lambda(a+b+c)[/tex]
[tex]\frac{dF}{da } =-\frac{8}{a^2 }-20a+\lambda = 0[/tex]
[tex]\frac{dF}{db } =-\frac{8}{b^2 }-20b+\lambda = 0[/tex]
[tex]\frac{dF}{dc } =-\frac{8}{c^2 }-20c+\lambda = 0[/tex]
Функцията [tex]f(x)=\frac{8}{x^2 } + 20x[/tex] има производна, анулираща се в единствена точка. Следователно, от f(a)=f(b)=f(c) следва, че поне две от променливите са равни. Ако, например, b=c, получаваме [tex]a+2b=3; f(a)=f(b)[/tex], откъдето [tex]8(a+b)=20a^2b^2[/tex]. Изразяваме [tex]a=3-2b[/tex], и достигаме до уравнението [tex]6-2a=5a^2(3-2a)^2[/tex], което има корен [tex]a=\frac{1}{2 }[/tex]. Следователно, ако има екстремум, той се достига при [tex](\frac{1}{2 }, \frac{1}{2 }, 2)[/tex].

[Станислав]

Неравенството е симетрично от 5-та степен. Нека фиксираме [tex]ab+bc+ca[/tex] ([tex]a+b+c[/tex] е вече фиксирано), то ще получим линейна функция по [tex]abc[/tex] (неравенството е от 5-та степен!). Тъй като [tex]abc[/tex] достига своя максимум/минимум при фиксирани [tex]a+b+c[/tex] и [tex]ab+bc+ca[/tex] при [tex]a=b[/tex] или [tex]a\rightarrow 0^+[/tex] (ако имахме реални [tex]abc[/tex] вторият случай нямаше да има нужда да се разглежда), то е достатъчно да се проверят случаите, когато 2 от числата са равни, но ме мързи да го напиша, а и едва ли, ако някой е разбрал дотук решението ще му се занимава.