за 8, 9 клас

[martin123456]

Нека [tex]x_1<x_2[/tex] са корените на уравнението [tex]x^2-(2m^2+1)x+m^4=0[/tex], [tex]m \in \mathbb{R}[/tex]. Докажете, че в интервала [tex](x_1,x_2)[/tex] има най-много един точен квадрат.

[inflames678]

Имаме че D=4m^2 + 1 > 0
и
x_1=m^2 + 1/2 - ?(m^2 +1/4) < m^2 < x_2 = m^2 +1/2 + ? (m^2 + 1/4)
и за да докажем че (m+1)^2 > x_2 зам. и пол.
m^2 + 2m + 1 > m^2 + 1/2 + ?(m^2 + 1/4)
<=> 2m + 1/2 > ?(m^2 + 1/4)
което мисля че e вярно за m >= -1/4.
Някъде бъркам, но нз къде.

[martin123456]

само малко да го изчистя да стане по четливо

Имаме че [tex]D=4m^2 + 1 > 0[/tex]
и
[tex]x_1=m^2 + \frac{1}{2} - \sqrt{m^2 +\frac{1}{4}} < m^2 < x_2 = m^2 +\frac{1}{2}+ \sqrt{m^2 + \frac{1}{4}[/tex]
и за да докажем че [tex](m+1)^2 > x_2[/tex] зам. и пол.
[tex]m^2 + 2m + 1 > m^2 + \frac{1}{2} + \sqrt{(m^2 + \frac{1}{4})}[/tex]
<=> [tex]2m + \frac{1}{2} > \sqrt{m^2 +\frac{1}{4}}[/tex]
което мисля че e вярно за m >= -1/4.
Някъде бъркам, но нз къде.

[martin123456]

<=> [tex]2m + \frac{1}{2} > \sqrt{m^2 +\frac{1}{4}}[/tex]
което мисля че e вярно за m >= -1/4.

[tex]3m^2+2m>0[/tex]
ти целиш да док че [tex]m^2[/tex] е този квадрат, значи трябва и да док и нещо за [tex](m-1)^2[/tex]: [tex]<x_1[/tex]

[estoyanovvd]

Всичко това е когато m е цяло число! А когато е дробно?

[martin123456]

а даже е и реално

[estoyanovvd]

Да де!

[inflames678]

<=> [tex]2m + \frac{1}{2} > \sqrt{m^2 +\frac{1}{4}}[/tex]
което мисля че e вярно за m >= -1/4.

[tex]3m^2+2m>0[/tex]
ти целиш да док че [tex]m^2[/tex] е този квадрат, значи трябва и да док и нещо за [tex](m-1)^2[/tex]: [tex]<x_1[/tex]

да найстина но отново се получава [tex]3m^{2} - 2m > 0 .[/tex]
А доколкото за целите числа също съм го объркал,може би трябва друг подход към задачата.
Може би ако си вземем числото к [tex]\in[/tex] N и то е такова че [tex]x_{1}\le k^{2}[/tex] то е необходимо да докажем [tex]x_{2}< (k+1)^{2}[/tex] и [tex]x_{1} > (k-1)^{2}[/tex].

[martin123456]

решение
считаме че има един и трябва да докажем че няма два
нека [tex]n^2[/tex] е между корените [tex]x_{1,2}=\frac{2m^2+1 \pm \sqrt{4m^2+1}}{2}[/tex] и [tex]n \geq 0[/tex]
значи [tex]2m^2+1 - \sqrt{4m^2+1} < 2n^2 < 2m^2+1 + \sqrt{4m^2+1}[/tex]
полагаме [tex]t=\sqrt{4m^2+1}[/tex], [tex]t \geq 1[/tex], [tex]m^2=\frac{t^2-1}{4}[/tex]
[tex]4m^2+2-2t < 4n^2 < 4m^2+2+2t[/tex]
[tex]t^2-2t+1 < 4n^2 < t^2+2t+1[/tex]
[tex](\frac{t-1}{2})^2 < n^2 < (\frac{t+1}{2})^2[/tex]
за да док, че няма друг корен е достатъчно да покажем, че не е възможно нито [tex](n+1)^2 < (\frac{t+1}{2})^2[/tex], нито [tex](\frac{t-1}{2})^2 < (n-1)^2[/tex]. показваме само 1вото, понеже второто е аналогично. нека 1вото е вярно. то е ексвивалентно на [tex](n+1+\frac{t+1}{2})(n+1-\frac{t+1}{2}) < 0[/tex] <=> [tex]n+1 < \frac{t+1}{2}[/tex]. Но [tex]n^2 > (\frac{t-1}{2})^2[/tex] <=> [tex](n+\frac{t-1}{2})(n-\frac{t-1}{2}) > 0[/tex]<=>[tex]n > \frac{t-1}{2}[/tex]. значи
[tex]\frac{t-1}{2} +1 < n+1 < \frac{t+1}{2}[/tex] <=> [tex]\frac{t+1}{2} < \frac{t+1}{2}[/tex].

[inflames678]

Ясно.Благодаря за решението.Не съм се сетил само за полагането(което си е задачата де ).