забавна 2 - стара

[martin123456]

Докажете, че сред 7 реални числа съществуват две, да речем [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex], че [tex]0 \leq \frac{x-y}{1+xy} \leq \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].

[ubuntu]

Напишете числата като [tex]tanx_{i}[/tex], където [tex]-90 <x_{i}> 90[/tex] и разделете [tex][-90,90][/tex] на 6 равни интервала.Това е само като упътване.

[dim]

И аз се сетих за това докато бях навън. Полага се [tex]x=tg\alpha[/tex], [tex]y=tg\beta[/tex], изобщо всички числа могат да се изразят като [tex]tg[/tex] на ъгли, като аргументът е в интервала [tex](-\pi/2 ,-\pi/2 )[/tex]. Тогава [tex]\frac{x-y}{1+xy}=\frac{tg\alpha - tg \beta }{1+tg\alpha.tg \beta }=tg(\alpha -\beta )\le tg \frac{\pi}{6}=\frac{1}{3}[/tex], защотот тия 7 точки делят интервала на 6 част и максумум се достига когато са разпределени по равно. Всъщност е невъзможно да се рапределят по равно, защото [tex]tgx[/tex], не е дефинирана за [tex]\pm \pi/2[/tex], но неравенството пак си важи.

[martin123456]

да
още по-точно
нека [tex]x=tga[/tex], [tex]y=tgb[/tex], [tex]a,b \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex]. задачата става: съществуват ли [tex]a,b[/tex], че [tex]0 \leq tg(a-b) \leq \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex] <=> съществуват ли [tex]a,b[/tex], че [tex]|a-b| \leq \frac{\pi}{6}[/tex].
разделяме [tex](-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})[/tex] на 6 интервала: [tex](-\frac{\pi}{2},-\frac{\pi}{3}],[-\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{6}],[-\frac{\pi}{6}, 0],[0,\frac{\pi}{6}],[\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}],[\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2})[/tex] и използваме принципа на дирихле.