делимост

[inflames678]

Да се намерят всичките[tex]\overline{abcd}[/tex] , които се делят на 7 и е изпълнено [tex]a+b+c+d/7[/tex] и [tex]a^2+b^2+c^2+d^2/49[/tex]
П.П. Не съм сигурен дали условието е достатъчно ако искате дайте съвет за подобряване на задачата.

[ptj]

Признак за делимост на 7 за [tex]\overline {abcd}[/tex]:

[tex]-a+2b+3c+d\equiv 0 \pmod 7[/tex]

Освен това [tex]-a\equiv b+c+d \pmod 7[/tex],
сл. [tex]3b+4c+2d\equiv0 \pmod 7[/tex]
[tex]2a-b-2c\equiv0 \pmod 7[/tex] => [tex]b\equiv 2a+2c \pmod 7[/tex]
Събираме с предното:
[tex]3.(2a+2c)+4c+2d\equiv 6a+10c+2d\equiv -a+3c+2d\equiv 0 \pmod 7[/tex] => [tex]a\equiv 3c+2d \pmod7[/tex]
връщаме се и заместваме
[tex]b\equiv 2a+2c \equiv 2(3c+2d)+2c=10c+4d\equiv 3c-3d \pmod 7[/tex]

Очевидно 6 дели [tex]b[/tex], сл. тя е или 0 или 6.

[tex]a^2+b^2+c^2+d^2\equiv (3c-2d)^2+(3c-3d)^2+c^2+d^2\equiv 9c^2-12cd+4d^2+9c^2-18cd+9d^2+c^2+d^2\equiv 19c^2-30cd+14d^2 \pmod{49}[/tex]
...

П.П. Може да се изрази и [tex]d[/tex] чрез останалите за да се види дали не се дели на нещо.

[inflames678]

От [tex]7/abcd=1000a+100+b+10c+d[/tex] и [tex]7/a+b+c+d[/tex] имаме следната система
[tex]7/5a+b+2c\\7/3a+6b+5d\\7/4a+c+5d\\7/4b+3c+5d\\7/6a+2b+3c+d[/tex]
от които чрез събиране и изваждане на равенствата се получава че 7 дели сбора от три цифри(a,b,c или d с някакви коефициенти пред тях).
Целта ни е като умножим две от равенствата да получим нещо от вида на [tex]7*7/ab+ac+ad+bc+bd+cd[/tex](отново с коефициенти пред всяко произведение).Също така понеже от условието [tex]49/a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}[/tex] и от [tex]7/a+b+c+d[/tex] като повдигнем второто на квадрат получаваме [tex]49/a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} + 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/tex] или че
[tex]49/ab+ac+ad+bc+bd+cd[/tex] от тук отново чрез изваждания и събирания трябва да намалим възможностите.

п.п. задачата май е гадна но всичко си идва на мястото след час два