Димо Малешков 11 клас

[ksen_93]

Не знам дали сте ходили на това състезание,но аз бях и едната задача по математика ме затрудни.Неравенство за 11 клас:

Да се докаже,че ако x,y,z [tex]\in[/tex] (-1,1), то
[tex]\left|\frac {x-y} {1-xy}\right|[/tex] + [tex]\left|\frac {y-z} {1-yz}\right|[/tex] ≥ [tex]\left|\frac {x-z} {1-xz}\right|[/tex]

[mkmarinov]

[tex]|a|+|b| \ge |a+b|[/tex]

[ksen_93]

Пробвах с това,но не успях да го докажа

[martin123456]

1. като използваме посоченото в горния пост неравенство с модулите се стига до:
[tex]\left|\frac {x-y} {1-xy}\right| + \left|\frac {y-z} {1-yz}\right| \ge \left|\frac {x-y} {1-xy}+\frac {y-z} {1-yz}\right|=[/tex]
[tex]\left|\frac{x-y+y-z-yz(x-y)-xy(y-z)}{(1-xy)(1-yz)}\right|=\left|\frac{x-z-y(zx-zy)-y(xy-xz)}{(1-xy)(1-yz)}\right|[/tex][tex]\left|\frac{x-z-y(zx-zy+xy-xz)}{(1-xy)(1-yz)}\right|=\left|\frac{x-z-y^2(-z+x)}{(1-xy)(1-yz)}\right|=\left|\frac{(x-z)(1-y^2)}{(1-xy)(1-yz)}\right|[/tex]
искаме да покажем, че [tex]\left|\frac{(x-z)(1-y^2)}{(1-xy)(1-yz)}\right| \ge \left|\frac{x-z}{1-xz}\right| \Leftrightarrow \left|\frac{1-y^2}{(1-xy)(1-yz)}\right| \ge \left|\frac{1}{1-xz}\right| \Leftrightarrow |(1-y^2)(1-xz)|\ge|(1-xy)(1-yz)|[/tex]. Тъй като [tex]xy \in (-1,1) \Rightarrow -xy \in (-1,1) \Rightarrow 1-xy \in (0,2) \Rightarrow 1-xy >0[/tex]. Неравенстото е [tex]\Leftrightarrow (1-y^2)(1-xz)\ge(1-xy)(1-yz) \Leftrightarrow 1-xz-y^2+y^2xz \ge 1-xy-yz+y^2xz[/tex][tex]\Leftrightarrow -xz-y^2 \ge -xy-yz \Leftrightarrow xy-xz +yz -y^2 \ge 0 \Leftrightarrow x(y-z)-y(y-z) \ge 0 \Leftrightarrow (y-z)(x-y) \ge 0[/tex]. Послното значи, че ако [tex]y[/tex] е между [tex]x[/tex] и [tex]z[/tex], то неравенството е вярно.

2. трябва да разгледаме и другите случаи - когато [tex]y[/tex] не е между [tex]x[/tex] и [tex]z[/tex].
Тъй като неравенството е симетрично относно [tex]x[/tex] и [tex]z[/tex] можем да считаме, че [tex]x \le z[/tex].
аргментите на модулите в знаменателите са положителни
2.1. [tex]y \le x \le z[/tex]:
разкриваме модулите [tex]\frac{x-y}{1-xy}+\frac{z-y}{1-yz} \ge \frac{z-x}{1-xz}[/tex]. първото събираемо е положително. разглеждаме [tex]\frac{z-y}{1-yz} \ge \frac{z-x}{1-xz} \Leftrightarrow z-y-xz^2+xyz \ge z-x-yz^2+xyz \Leftrightarrow -y-xz^2 \ge -x-yz^2[/tex] [tex]y+xz^2 \le x+yz^2 \Leftrightarrow x-y -z^2(x-y) \ge 0 \Leftrightarrow (x-y)(1-z^2) \ge 0[/tex], което е вярно.
2.1. [tex]x \le z \le y[/tex]:
разкриваме модулите [tex]\frac{y-x}{1-xy}+\frac{y-z}{1-yz} \ge \frac{z-x}{1-xz}[/tex]. аналогично

за тези 2 случая може би трябва да се разписва и после да се разложи някак

[mkmarinov]

(hint) защо можем да разглеждаме само случаят [tex]x \ge y \ge z[/tex] ?
А другите директно да ги отпише, .

[martin123456]

всъщност това е пълно решение
последния ред го бях написал предварително, понеже си мислех че няма да довърша случай 2, но го довърших