Определете стойността на израза

[ins-]

Нека [tex]a,b,c,x,y,z[/tex] са реални числа, за които са в сила едновременно равенствата:
[tex]\left\{\begin{array}a+b+c=0\\x+y+z=0\\\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=0\end{array}\right[/tex].
Да се пресметне числовата стойност на израза: [tex]A=xa^{2}+yb^{2}+zc^{2}[/tex]

Задачата не е измислена от мен, но ми хареса.
Ако знаете още подобни задачи, за които
са дадени няколко израза и се иска да се намери
друг - може да ги споделите. Много се кефя и
на красиви системки

[rashi101]

[tex]\frac{x}{a } + \frac{y}{b } + \frac{z}{c } =0[/tex]
[tex]\rightarrow xbc + yac + zab = 0[/tex]
[tex]x(-b)(-c) + y(-a)(-c) + z(-a)(-b)=0[/tex]
[tex]x(c+a)(a+b) + y(b+c)(a+b) + z(b+c)(c+a)=0[/tex]
[tex]xa^2+yb^2+zc^2 + (x+y+z)(ab+bc+ca)=0[/tex]
[tex]xa^2+yb^2+zc^2=0[/tex]

Права ли съм?

[ins-]

Този ред е малко неясен:
[tex]x(c+a)(a+b) + y(b+c)(a+b) + z(b+c)(c+a)=0[/tex]
Иначе разсъжденията изглеждат коректни и отговорът е правилен.

[rashi101]

Опс, забравила съм да напиша [tex]a+b+c=0[/tex] [tex]\rightarrow[/tex] [tex]-a=b+c[/tex], [tex]-b=c+a[/tex], [tex]-c=a+b[/tex]
Замествам в [tex]x(-b)(-c) + y(-a)(-c) + z(-a)(-b)=0[/tex] , разкривам скобите и групирам,за да получа [tex]xa^2+yb^2+zc^2 + (x+y+z)(ab+bc+ca)=0[/tex]. Наистина трябва повече да внимавам,като пиша решения

[ins-]

важното е, че пишеш по-добри решения от мен.