Задача за доказателство

[ins-]

Aко [tex]a, b, c[/tex] са реални числа, такива че: [tex]abc=1[/tex]. Да се докаже, че:
[tex]\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2+\left(c+\frac{1}{c}\right)^2-\left(a+\frac{1}{a}\right)\left(b+\frac{1}{b}\right)\left(c+\frac{1}{c}\right)=4[/tex].

[ganka simeonova]

Да разкрием скобите [tex](a+\frac{1}{ a} )(b+\frac{1}{ b})(c+\frac{1}{c } )=[/tex]

[tex]abc+\frac{ab}{ c} +\frac{ac}{b} +\frac{a}{ bc} +\frac{bc}{ a} +\frac{b}{ ac} +\frac{c}{ ab} +\frac{1}{ abc}[/tex]

От условието=> че този израз е равен на:

[tex]2+a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2 } +\frac{1}{ b^2} +\frac{1}{ c^2}[/tex]

След прилагане на формулите за съкратено умножение на първите три скоби и заместване на последния израз с полученото , получаваме 4.

[amsara]

Пускам го както си е на черновата, че ме мързи да го препиша на Latex с всичките тия степени
http://img600.imageshack.us/img600/7831/realabc.jpg

[kucheto]

Първото решение изглежда доста по-просто.

[allier]

А това решение по-долу не ти ли се струва най-просто и кратко:

"Смятаме, смятаме, смятаме и получаваме, че изразът е равен на 4"

И двете решения от amsara и ganka са еднакво прости Просто в първото решение липсват детаилно сметките.

[ins-]

На мен и двете решения ми харесват. Решена е даже и задачата: "Да се пресметне израза, ако не знаем предварително стойността му".