Една унгарска задача

[ins-]

Нека [tex]a,b,c,d[/tex] са реални числа, за които:
[tex]a^2+b^2=1[/tex]
[tex]c^2+d^2=1[/tex]
[tex]ac+bd=0[/tex]
Да се намери стойността на:
[tex]ab+cd[/tex].

[martin123456]

[tex]a=\sin{\alpha} \Rightarrow b =\cos{\alpha}[/tex]
[tex]c=\sin{\beta} \Rightarrow d =\cos{\beta}[/tex]
имаме [tex]0=ac+bd=\sin{\alpha}\sin{\beta}+\cos{\alpha}\cos{\beta}=\cos{(\alpha - \beta)}[/tex]
търсим [tex]ab+cd=\sin{\alpha}\cos{\alpha}+\sin{\beta}\cos{\beta}=\frac{\sin{2\alpha}+\sin{2\beta}}{2}=\sin{(\alpha+\beta)}\cos{(\alpha-\beta)}=0[/tex]

[ins-]

Разсъжденията на Мартин са коректни и това е красива идея.
Преди време успях по подобен начин да намеря стойността на
израза: ad-bc. И двете задачи имат чисто алгебрично решение.
Разписването със синуси, като се заместят променливите би
помогнало да се намери това алгебрично решение. Предимството
на алгебричното решение пред тригонометричното е, че ако
беше дадено например: [tex]a^2+b^2=68[/tex] подобно заместване
е невъзможно.

[mkmarinov]

[tex]a=\sqrt{68}sin\alpha[/tex] ?

[ins-]

идейно, може да е смешно, но нямаше да се сетя

[rashi101]

А ето едно алгебрично решение:
[tex]ac+bd=0 \rightarrow ac=-bd \\ a^2c^2=b^2d^2=(1-a^2)(1-c^2) \\ \cancel{a^2c^2}=1-a^2 -c^2 +\cancel{a^2c^2}\\a^2+c^2=1=a^2+b^2 \rightarrow b^2=c^2\\ (ac+bd)^2=a^2c^2+2acbd+b^2d^2=0[/tex]
Като заместим [tex]b^2[/tex] с [tex]c^2[/tex] и обратно в израза получаваме
[tex]a^2b^2+2abcd+c^2d^2=0\\(ab+cd)^2=0\\ab+cd=0[/tex]

[ins-]

Това, което е написано като алгебрично решение много ми хареса.
Задачата е от "Etovos" - 1947.