2 в 1

[ins-]

Нека [tex]a,b,c[/tex] са реални числа такива, че: [tex]abc\ne0[/tex], [tex]a+b+c\ne0[/tex] и
[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}[/tex].
Да се докаже, че:
а) Сбора на някои две от променливите е [tex]0[/tex].
б) За произволно нечетно естествено число [tex]n[/tex] е в сила:
[tex]\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}[/tex].

[rashi101]

[tex]n[/tex] не трябва ли да е нечетно?

[ins-]

Трябва ... сръбският ми е зле и не съм внимавал с превода
Извинявам се много.

[mkmarinov]

БОО [tex]a+b+c=1[/tex]
[tex]\frac{1}{1-(b+c)}+\frac{b+c}{bc}=1[/tex]
[tex](b+c)-(b+c)^2=-bc(b+c)[/tex]. Сега, или [tex]b+c=0[/tex], с което задачата е решена, или:
[tex]1-(b+c)+bc=0[/tex] ([tex]1-(b+c)=a[/tex], [tex]b=1-a-c[/tex]) =>
[tex]a+(1-a-c)c=0[/tex]
[tex]a+c-c(a+c)=0[/tex]
[tex](a+c)(1-c)=0[/tex]
Т.е. или [tex]a+c=0[/tex], или [tex]c=1 <=> a+b=0[/tex]

[rashi101]

Хубава идея. И с обикновено привеждане под общ знаменател и разлагане също става... [tex](a+b)(b+c)(c+a)=0.[/tex]
А б) следва от а)