Намерете формула за сумата...

[rashi101]

[tex]S_n=r+2r^2+3r^3+...+nr^n[/tex]

[ins-]

Нека n=4.
Сумата е равна на разликата

r^4 + r^4 + r^4 + r^4 +
r^3 + r^3 + r^3 + r^3 +
r^2 + r^2 + r^2 + r^2 +
r + r + r + r

-

r + r + r +
r^2 + r^2
r^3

Двете събираеми лесно могат да бъдат изразени като сборове на
геометрични прогресии.
Дано да съм бил полезен. Написаното от мен не е решение на задачата.

[rashi101]

Tова би могло да помогне да се намери решение. Но има и един лесен начин задачата да се опрости...

[ins-]

0 = r-r ?

[rashi101]

Не това имам предвид. Опс, няма да отговарям на повече въпроси, защото задачата ми харесва, искам да помислите и да я решите без помощ, а след още няколко отговора несъмнено ще изпусна някоя подсказка

[ins-]

Ако положим [tex]r=\frac{1}{t}[/tex] ще имаме:
[tex]t.S_n = n + (n-1)t + ... + 2.t^{n-2}+t^{n-1}[/tex]

Тогава дясната страна може да се представи като сбор на
геометрични прогресии.

1,1,...,1 - n пъти
t,t,.... - (n-1) пъти
....
t^{n-1} - 1 път.

Сумата от сборовете на тези геометрични прогресии може да се
пресметне с помощта на формулата за сбор на геометрична прогресия
и привеждане под общ знаменател. Тъй като не е казано
дали r>1, r=1, r<1 - бихме могли да разгледаме различни случаи.
Връщаме се в полагането, обобщаваме и намираме отговорите.

[martin123456]

[tex]g(r)=r+r^2+\cdots + r^n[/tex]
[tex]g'(r)=1+2r+\cdots + nr^{n-1}[/tex]
[tex]S_n=rg'(r)[/tex]

[tex]g(r)=\frac{r-r^{n+1}}{1-r} \Rightarrow g'(r)=\frac{(1-(n+1)r^n)(1-r)+(r-r^{n+1})}{(1-r)^2}[/tex]

[pipi langstrump]

[tex]S_n = \sum_{\nu = 1}^{n}\nu r^{\nu} = \sum_{\nu = 1}^{n}(\nu + 1 - 1) r^{\nu} = \frac{1}{r} \sum_{\nu = 1}^{n}(\nu + 1) r^{\nu + 1} - \sum_{\nu = 1}^{n} r^{\nu} = \frac{1}{r} S_n + \frac{1}{r}(n+1)r^{n+1} - 1 - \sum_{\nu = 1}^{n} r^{\nu}[/tex]
и оттук вече е ясно.

[rashi101]

Страхотни, както винаги! Един начин да се достигне до решението на Мартин е да се разгледа [tex](1-r)S_n[/tex]. Тогава дясната страна става[tex]r+r^2+r^3+\dots+r^n-nr^{n+1}[/tex], което лесно може да се изрази чрез сума на геометрична прогресия. Това имах предвид, като казах, че има и лесен начин Окончателният отговор е:
[tex]S_n=\frac{nr^{n+2}-(n+1)r^{n+1} +r}{(1-r)^2 }[/tex]

[ins-]

През ума ми мина идеята за производни, но съм се съсредоточил в друго и не мислех задълбочено по задачата.
Други начини, които съм виждал да се ползват при суми и редици е да се разгледат разликите [tex]S_n - S_{n-1}[/tex] и с метода на неопределените коефициенти, налучкване и индукция. А това с 0=r-r в частния случай 0=1-1 би могло да се използва за намиране на 1.1!+...+n.n!.
За някои комбинаторни тъждества се разглежда развитието на Нютонов бином. Има и много други методи ...