Задача от Дания

[ins-]

Нека [tex]a,b,c[/tex] са три различни реални числа, за които: [tex]abc\ne0[/tex] и
[tex]a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}=t[/tex] за някое реално число [tex]t[/tex].
Да се докаже, че: [tex]abc+t=0[/tex].

[rashi101]

[tex]a+\frac{1}{b}=b+\frac{1}{c}\rightarrow abc=b^2c+b-c\\abc+t=b^2c+b-c +b+\frac{1}{c}=\frac{b^2c^2 +2bc +1 -c^2}{c}=\frac{(bc+1+c)(bc+1-c)}{c}[/tex]
Така задачата се свежда до доказването на факта, че изразът в числител е равен на нула. Когато в [tex]b+\frac{1}{c}=c+\frac{1}{a}[/tex] заместим [tex]a[/tex] с [tex]\frac{b^2c+b-c}{bc}[/tex], прехвърлим всичко отляво на знака за равенство, приведем под общ знаменател и разложим, получаваме желаното.

ПС: Също така получаваме, че [tex]t=\pm 1[/tex]. Сигурно има и много по-елегантно решение от моето... много бих искала да видя такова

[b1ck0]

моето решение е доста по-неелегантно от твоето, но и аз получавам [tex]t = \pm 1[/tex]

[ins-]

Тук има още разсъждения по темата. Освен в Дания - задачата е предлагана на олимпиада в Индия.

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 52#p341948

[ganka simeonova]

Инс, тази задача толкова ми хареса, че днес я решавах в училище
И моето решение не е малко.
Достигаме до две у-я. От едното получавам, че:
[tex]abc+\frac{1}{abc } =t^3-3t[/tex],
а от другото, че [tex]t=\pm 1=>abc=\mp 1[/tex]

[ins-]

браво! Значи има някакъв смисъл от пуснатите задачи. Лошото е, че са краен брой и не е лесно да се измислят подобни. Ще ми се да видя нещо в този дух, което не ми е познато.