Задача от "Дружба"

[ins-]

Някога преди отдавна попаднах на задачи от математически конкурс "Дружба".
Намерих една книжка със задачи от него и отделни теми в "Математика и информатика".
Тук прилагам една задача, която може да съм пускал и преди.

Нека [tex]a,b,c,x,y,z[/tex] са реални числа, за които:
[tex]a^2+b^2+c^2=25[/tex],
[tex]x^2+y^2+z^2=36[/tex],
[tex]ax+by+cz=30[/tex].
Да се пресметне:
[tex]\frac{a+b+c}{x+y+z}[/tex].

Ако някой знае повече факти за този конкурс - от кога-до кога се е организирал,
на какъв принцип са подбирани участниците или ако има още задачи, освен
описаните - ще се радвам да ги видя.

[martin123456]

от неравенството на коши-шварц: [tex]900=(ax+by+cz)^2\le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)=900[/tex]. равенство за [tex]a=kx[/tex], [tex]b=ky[/tex], [tex]c=kz[/tex]. пресмятаме [tex]36k^2=25 \Rightarrow k=\pm \frac{5}{6}[/tex]. търсим [tex]k[/tex]. ясно [tex]k>0[/tex] от последното равенство.

[ins-]

Друг начин е да се използват вектори. Виждал съм го на един руски сайт.