Наполовина авторска

[ins-]

Нека [tex]a,b,c,x,y,z[/tex] са реални числа, за които: [tex]a+b+c=xyz=1[/tex].
Да се докаже, че:
[tex]\frac{a+bx+cxy}{1+x+xy}+\frac{a+by+cyz}{1+y+yz}+\frac{a+bz+czx}{1+z+zx}=1[/tex].
Bъзможно ли е да се направи по-обобщен извод?

[rashi101]

[tex]\frac{a+bx+cxy}{1+x+xy}+\frac{a+by+cyz}{1+y+yz}+\frac{a+bz+czx}{1+z+zx}=\\\frac{a+bx+cxy}{1+x+xy}+\frac{ax+byx+cxyz}{x+xy+xyz}+\frac{axy+bxyz+cxyzx}{xy+xyz+xyzx}=\\\frac{a+bx+cxy}{1+x+xy}+\frac{ax+bxy+c}{x+xy+1}+\frac{axy+b+cx}{xy+1+x}=\\\frac{(a+b+c)\cancel{(1+x+xy)}}{\cancel{(1+x+xy)}}=a+b+c[/tex].

ПС: Какво значи наполовина авторска?

[ins-]

Означава, че съм виждал следните задачи на различни олимпиади и в разни сборници:
Ако [tex]xyz=1[/tex], то:
[tex]\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+zx}=1[/tex].
[tex]\frac{x}{1+x+xy}+\frac{y}{1+y+yz}+\frac{z}{1+z+zx}=1[/tex].
[tex]\frac{xy}{1+x+xy}+\frac{yz}{1+y+yz}+\frac{zx}{1+z+zx}=1[/tex].
[tex]\frac{1+x}{1+x+xy}+\frac{1+y}{1+y+yz}+\frac{1+z}{1+z+zx}=1[/tex].
и вместо да ги пускам една по една реших да пусна една обща.