Задачи от състезание по МАТ 2009

[radinveronika]

Моля ви помогнете ми с решението на тези задачи:


Задача 1. Сумата от първите m члена на аритметична прогресия е Sm =n, а от първите n члена е Sn = m. Да се намери Sm + n.

Задача 2. Нека а1 , а2... an е геометрична прогресия. Ако а1+а2+...аn=S
1/а1+1/а2 +…+ 1/аn=S`. Да се намери P=a1 .a2 …an

Задача 3. Да се намери сумата на n дроби, числителите на които образуват аритметична прогресия, а знаменателите геометрична, ако аритметичната прогресия е с първи член a и разлика d, геометричната прогресия е с първи член b и частно q.

Задача 4. Окръжност к се допира до раменете на остър ъгъл АОВ в точките А и В. При В е построен перпедикуляр ВР към диаметъра АD на к пред А, Р принадлежи на AD . Правата ОD пресича ВР в точка М. Да се намери отношението BM:BP =?

[mkmarinov]

1)
Нека прогресията е [tex]\%a_1, d[/tex]
[tex]S_m=\frac{2a_1+(m-1)d}{2}=n=> a_1=n-\frac{m-1}{2}d[/tex]
[tex]S_n=\frac{2a_1+(n-1)d}{2}=m => a_1=m-\frac{n-1}{2}d[/tex]
Като ги приравним:
[tex]n-\frac{m-1}{2}d=m-\frac{n-1}{2}d[/tex]
[tex]\frac{n-m}{2}d=m-n[/tex]
[tex]d=-2[/tex]
[tex]a_1=m+n-1[/tex]

[tex]S_{m+n}=\frac{2a_1+(m+n-1)d}{2}=\frac{2m+2n-2-2m-2n+2}{2}=0[/tex]

[radinveronika]

Благодаря за решението на 1 Задача ако някой може да реши и другите много ще ме зарадва

[ganka simeonova]

3 нещо не ми е ясна. Виж пак условието.

[martin.nikolov]

3 нещо не ми е ясна. Виж пак условието.

Написано е, да се пресметне сумата

[tex]\frac ab+\frac{a+d}{bq}+\cdots+\frac{a+(n-1)d}{bq^{n-1}}[/tex]

[radinveronika]

3 нещо не ми е ясна. Виж пак условието.

така е условието видях го няколко пъти преди да го публикувам и сега го погледнах...

[ganka simeonova]

Извинявай, имах предвид 4 Геометрията ми е интересна.

[kucheto]

На 4-та използвах програма за чертане, с която установих, че М е Среда на ВР, т.е. ВМ:ВР=0,5, ама не ги разбирам тия задачи много, тъй че не мога да я докажа.

[radinveronika]

Извинявай, имах предвид 4 Геометрията ми е интересна.

и то е така ще го копирам пак

Окръжност к се допира до раменете на остър ъгъл АОВ в точките А и В. При В е построен перпендикуляр ВР към диаметъра АD на окръжността к пред А, точка Р принадлежи на AD. Правата ОD пресича ВР в точка М. Да се намери отношението BM:BP=?


опитах се да направя чертежа, но нещо и аз не можах да си представя някои неща...

[martin.nikolov]

Какво не е ясно в зад. 4?

[ganka simeonova]

3 зад)
Разглеждаме подобни триъгълници:
1)[tex]\Delta BPF\approx \Delta OAF=>\frac{BP}{y } =\frac{x}{ x+y} =>BP=\frac{xy}{ x+y}[/tex](1)

2) [tex]\Delta NPD\approx \Delta OAD=>\frac{NP}{y } =\frac{DP}{ 2r} =>NP=\frac{y.DP}{ 2r}[/tex](2)

3)[tex]\Delta BJP\approx \Delta AOF=>\frac{JP}{ r} =\frac{y}{x+y } =>JP=\frac{ry}{x+y }[/tex]=>

[tex]DP=r-JP=\frac{rx}{ x+y}[/tex](3) Заместваме (3) в (2)=>[tex]NP=\frac{xy}{ 2(x+y)}[/tex](4)
От (1) и (4)=>N е среда за BP=>[tex]BN:NP=1:1[/tex]

[drago]

Oще по-просто(само с мерки на ъгли в окръжност). Както е чертежа:
Нека BD пресича OA в т. B1. ъгъл DB1A=(дъга АDB- дъгаАB)/2; ъг.ОBB1=дъга BD/2;
Eлементарна сметка показва, че те са равни, т.е. ъг.DB1A=ъг.ОBB1 =>OB=OB1, но ОB=OA =>OA=OB1 =>BN=NP.

[drago]

Oще по-просто(само с мерки на ъгли в окръжност). Както е чертежа:
Нека BD пресича OA в т. B1. ъгъл DB1A=(дъга АDB- дъгаАB)/2; ъг.ОBB1=дъга BD/2;
Eлементарна сметка показва, че те са равни, т.е. ъг.DB1A=ъг.ОBB1 =>OB=OB1, но ОB=OA =>OA=OB1 =>BN=NP.

Mалка корекция: ъгъл DB1A=(дъга АD- дъга АB)/2.

[radinveronika]

Благодаря ви за 4 Задача (hug)

[radinveronika]

3 нещо не ми е ясна. Виж пак условието.

Написано е, да се пресметне сумата

[tex]\frac ab+\frac{a+d}{bq}+\cdots+\frac{a+(n-1)d}{bq^{n-1}}[/tex]

Относно задача 3 получих израз за сумата S=n*(n+1)*1/2 като n е последната дроб която е написал martin.nikolov, но се получава много сложен израз... Някой може ли да го пресметне или да има друго решение за задачата?

[kucheto]

Тези задачи са дадени на състезанието "Тодор Чимев" за 11-клас на благоевградското ПМГ.

[mkmarinov]

3:
[tex]S=\frac{a}{b}+\frac{a}{bq}+\frac{d}{bq}+...+\frac{a}{bq^{n-1}}+\frac{(n-1)d}{bq^{n-1}}=\\=\frac{a}{b}(1+\frac{1}{q}+...+\frac{1}{q^{n-1}})+\frac{d}{b}(\frac{1}{q}+\frac{2}{q^2}+\frac{3}{q^3}+...+\frac{n-1}{q^{n-1}})[/tex], и за двете суми има лесни формули за намирането им.