лесна аритметична

[martin123456]

Дадена е безкрайна аритметична прогресия [tex]\{a_n\}[/tex], която съдържа числата [tex]1[/tex] и [tex]\sqrt{2}[/tex]. Докажете че не съществуват три числа от тази прогресия, които са в геометрична прогресия.

[martosss]

Дадено ни е, че
[tex]a_1+kd=1\\a_1+ld=\sqrt 2[/tex] за цели k и l.
От тези две уравнения(чрез изваждане, а после директно заместване) изразяваме [tex]a_1[/tex] и [tex]d[/tex] чрез k и l:
[tex]a_1=\frac{k\sqrt 2-l}{k-l}\\d=\frac{1-\sqrt 2}{k-l}[/tex]
Длъжни сме да отчетем, че [tex]k\ne l[/tex], тоест двата члена, които са равни на 1 и корен от 2, не съвпадат. Освен това k и l са неотрицателни числа, понеже са индекси на членове на аритм. прогресия(може и да са 0).
Сега трябва да докажем, че за произволни естествени числа а, б и с(които са ни коефициентите пред d) не може да е в сила равенството
[tex](a_1+ad)(a_1+bd)=(a_1+cd)^2[/tex] - тоест а, б и с са индекси на членове от аритм. прогресия, които образуват геом. прогресия. Това, разбира се, означава, че [tex]a\ne b\ne c[/tex](споменавам го още тук, защото го използвам и накрая, та да ви подготвя още отсега).
Тук можем да посъкратим туй-онуй, след което да използваме намерените връзки за първият член и разликата, при което получаваме уравнение само с a, b, c, k и l:
[tex]\sqrt{2} \left(ak+bk-2kc-ab+c^2)+(2lc-la-lb+ab-c^2)=0[/tex]
Понеже едното произведение е ирационално, а другото - цяло число, то трябва да се докаже, че поотделно са равни на 0:

[tex]\begin{tabular}{|l}ak+bk-2kc-ab+c^2=0\\2c-la-lb+ab-c^2=0\end{tabular}[/tex]
Сега събираме двете у-я почленно и получаваме
[tex](k-l)(a+b-2c)=0[/tex]
Отчели сме, че k различно от l, откъдето [tex]\fbox{a+b=2c}[/tex]
Заместваме в първото уравнение и получаваме:
[tex]k*2c-2kc-ab+\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=0\\a^2+2ab+b^2=2ab\\a^2+b^2=0\\a=b=0[/tex]
Получихме, че a=b=c=0, което не е решение(защото елементите трябва да са различни), откъдето заключаваме, че исканото е невъзможно и задачата е решена.

[martin123456]