Намиране на функция

[v1rusman]

зад. Да се намерят всички нечетни функции от вида [tex]f(x) = (ax^2+b) / ( x+c)[/tex], за които [tex]f(1) = 2[/tex] и [tex]f(x) >= 2[/tex] за всяко [tex]x>0[/tex].

[mkmarinov]

Нечетна => с=0.
f(1)=2 => [tex]a+b=2[/tex]
[tex]f(x) \ge 2 <=> ax^2-2x+b\ge 0 <=> ax^2-2x+(2-a)\ge 0[/tex] за всяко положително х.
[tex](x-1)(x-\frac{2-a}{a})\ge 0[/tex]. Което неравенство има за решение интервалът [tex][1; \frac{2-a}{a}][/tex] или обратният - важното е, че за да е изпълнено неравенството за всяко х, трябва този интервал да е с дължина 0. Т.е. [tex]a=b=1; f(x)=\frac{x^2+1}{x}[/tex]

Хубаво е да се спомене, че задачата е първа задача за 12 клас от тазгодишното издание на турнира Димо Малешков.

[prodanov]

Нечетна => с=0.

От къде следва това? Въобще не го разбрах.

[mkmarinov]

[tex]\frac{ax^2+b}{x+c}=-\frac{ax^2+b}{-x+c}<=> x+c=x-c[/tex] от определението за нечетна функция.