Докажете, че за всяко естествено число n...

[martin123456]

Дадена е квадратната функция [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] с цели коефициенти. Докажете, че за всяко естествено число [tex]n[/tex] съществува естествено число [tex]M[/tex], че [tex]p(n)p(n+1)=p(M)[/tex].

[dim]

Не си казал каква ф-я е [tex]p(n)[/tex].

[martin123456]

p е f

[dim]

Нека разгледаме случаят [tex]b=1, c=1, n=1[/tex]:
[tex]f(n).f(n+1)=f(M)[/tex] <=> [tex](a+2)(4a+3)=aM^2+M+1[/tex] <=> [tex]aM^2+M+1-(a+2)(4a+3)=0[/tex]. За да е [tex]M[/tex] естествено трябва поне дискриминантата [tex]D[/tex] да е точен квадрат. [tex]D=1-4a-4a(a+2)(4a+3)=16 a^3+ 44 a^2+ 20 a +1[/tex] и за нея могат да се намерят доста контримери, че не е точен квадрат => има някаква неточност в условието.

Нека [tex]a=1[/tex],
тогава [tex]f(n).f(n+1)=f(M)[/tex] <=> [tex](n^2+bn+c)(a(n+1)^2+b(n+1)+c)=M^2+bM+c[/tex]<=>
<=>[tex]M^2+bM+c-(n^2+bn+c)(a(n+1)^2+b(n+1)+c)=0[/tex]. Дискриминантата трябва да е точен квадрат за всяко [tex]b,c,n[/tex]: [tex]D=b^2-4c+4(n^2+bn+c)((n+1)^2+b(n+1)+c)=(b+2 n+2 n^2+2 c+2 n b)^2[/tex]=>
=>[tex]M=n+n^2+c+n b[/tex] - цяло, т.е, за всяко [tex]B,C,n[/tex] съществува такова [tex]M[/tex], че:
[tex](n^2+Bn+C)((n+1)^2+(n+1)B+C)=M^2+BM+C[/tex]. Като положим [tex]B=\frac{b}{a}[/tex], [tex]C=\frac{c}{a}[/tex] и умножим двете страни на у-то по [tex]a^2[/tex] [tex](a\in Z, a\ne 0)[/tex] , получаваме: [tex]f(n)f(n+1)=af(M)[/tex], което може би се търси да се докаже??

[martin123456]

[tex]f(n)f(n+1) = f(an+b+n(n+1))[/tex]

[dim]

[tex]a=3,b=c=n=1[/tex]

[tex]f(n)f(n+1)=(an^2+bn+c)(a(n+1)^2+b(n+1)+c)=(3.1+1.1+1)(3.2^2+2+1)=5.15=75[/tex]

[tex]f(an+b+n(n+1))=f(3+1+2)=f(6)=3.6^2+1.6+1=112[/tex]

[tex]75\ne 112[/tex] ?

[martin123456]

май не е вярно

[martin123456]

да, задачата е некоректна
извинявам се

[dim]

Всъщност важи това, което съм доказал: [tex]f(n)f(n+1)=af(M)[/tex], което си е вече "добра" задача, но в никакъв случай "лесна" - поне от техническа гледна точка с тая дискриминанта...само ме е яд, че не намерих противоречие още в началото и се гърчих с нея цял следобед

[martin123456]

аз също ще преразгледам задачата ако имам време