тригонометрия и естествени числа

[martin123456]

Нека [tex]n \in \mathbb{N^{*}}[/tex]. Докажете неравенството [tex]0 < tg(\pi\sqrt{9n^2+n}) < \frac{1}{\sqrt{3}}[/tex].

[dim]

Задачата всъщност се свежда да се намери ф-я [tex]f(n)=k[/tex], такава че за всяко [tex]n[/tex] да е изпълнено:
[tex]\pi \sqrt{9n^2+n}\in (k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi)[/tex] и [tex]\pi \sqrt{9n^2+n}\in (k\pi -\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{6}+k\pi)[/tex].
Лесно се установява, че за всяко [tex]n>0[/tex] и [tex]k=3n[/tex] са в сила неравенствата:
[tex]3n<\sqrt{9n^2+n}<3n+\frac{1}{2}[/tex] и [tex]3n-\frac{1}{2}<\sqrt{9n^2+n}<3n+\frac{1}{6}[/tex].
Всъщност е достатъчно да се докаже: [tex]3n<\sqrt{9n^2+n}<3n+\frac{1}{6}[/tex], което си е вярно за всяко [tex]n\in N[/tex]. А какво е [tex]\mathbb{N^{*}}[/tex]?
Ако си имал впредвид [tex]N^0[/tex], неравенството би трябвало да е: [tex]0\le tg({\pi \sqrt{9n^2+n}})<\frac{1}{\sqrt{3} }[/tex]

[martin123456]

[tex]N^{*}[/tex] е множеството на естествените без 0 или просто N