3 от 2 квадратни уравнения

[martin123456]

Нека [tex]p,q,r[/tex] са положителхни реални числа, не всички равни, такива че някои две от трите уравнения
[tex]px^2+2qx+r=0[/tex],
[tex]qx^2+2rx+p=0[/tex],
[tex]rx^2+2px+q=0[/tex]
имат общ корен, да речем [tex]\alpha[/tex].
a) Докажете, че [tex]\alpha[/tex] е реално и отрицателно.
б) Останалото трето уравнение няма реални корени.

п.с. извинявам се, допуснал съм грешка. не се доказва неотрицателно, а отрицателно

[naitsirk]

Може да греша, но май има грешка в условието...
Не трябвали навсякъде пред хикс на първа степен да минус, тогава нещата си идват на мястото

[martin123456]

нем, така си е, проверих го сега

[naitsirk]

е добре де от Виет за кое да е от 3-те уравнения имаме, че сборът от корените му е отрицателно число, а произведението им е положително => ако корените на уравнението са реални то те са отрицателни, което противоречи с това което трябва да се докаже.

Даже мисля, успях да докажа исканото ако пред хикс на първа е минус...

[martin123456]

промених си мнението

[naitsirk]

Б.О.О. можем да считаме, че 1-вите 2 уравнения имат общ корен [tex]\alpha[/tex]. Тогава:
[tex]p\alpha ^2+2q\alpha +r=0[/tex] и [tex]q\alpha ^2+2r\alpha +p=0[/tex]. Като умножим първото уравнение по [tex]q[/tex], а второто по [tex]p[/tex] и ги извадим получаваме: [tex]\alpha=\frac{p^2-qr}{2(q^2-pr) }[/tex], което очевидно е реално. От формулите на Виет за първото уравнение имаме: [tex]\alpha+x_2=-\frac{2q}{p }<0[/tex] и [tex]\alpha.x_2=\frac{r}{q }>0[/tex] и тъй като [tex]\alpha[/tex] е реално => [tex]\alpha<0[/tex]. Дискриминантата на 1-вото уравнение е: [tex]D=4(q^2-pr)>0[/tex] => [tex]q^2-pr>0[/tex], но [tex]\alpha=\frac{p^2-qr}{2(q^2-pr) }<0[/tex]. Тъй като знаменателят е положителен, то остава числителят да е отрицателен =>[tex]p^2-qr<0[/tex], но това е точно една четвърт от дискриминантата на 3-тото уравнение => то няма реални корени.

[martin123456]

да