триъгълник и рационални числа

[martin123456]

Страните на триъгълник са корени на кубично уравнение с рационални страни. Докажете, че височините му са корени на уравнение от степен шест с рационални коефициенти.

[Baronov]

Като изразим лицето по 2 начина имаме, че: [tex]h_a^{2} = \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}[/tex]. От тук следва, че всичките елементарни симетрични полиноми на [tex]h_a^2, h_b^2, h_c^2[/tex] се изразяват като рационална симетрична функция (частно на 2 симетрични полинома) на a, b и c с рационални коефициенти. Както знаем всички такива функции се изразяват чрез елементарните симетрични полиноми на a, b и c, които по условие са рационални числа. Тоест [tex]h_a^2, h_b^2, h_c^2[/tex] са корени на кубично у-е с рационални коефициенти. От тук задачата следва.

[martosss]

[tex]h_a^{2} = \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}[/tex]

Тук, предполагам, трябва да имаме и една четворка от лицето a*ha/2

[Baronov]

[tex]h_a^{2} = \frac{p(p-a)(p-b)(p-c)}{a^2}[/tex]

Тук, предполагам, трябва да имаме и една четворка от лицето a*ha/2

Хаха, прав си. Изпуснал съм я. Решението, обаче, не се променя.