хомогенно

[martin123456]

[tex]a,b,c \in \mathbb{Q}[/tex], [tex]ac \ne 0[/tex]. Уравнението [tex]ax^2+bxy+cy^2=0[/tex] има ненулево решение във вида [tex](x,y)=(a_0+a_1\sqrt[3]{2}+a_2\sqrt[3]{4}, b_0+b_1\sqrt[3]{2}+b_2\sqrt[3]{4})[/tex] и [tex]a_i,b_i \in \mathbb{Q}[/tex]. Докажете, че то също има ненулево рационално решение.

[Baronov]

Достатъчно е да докажем, че [tex]\frac{x}{y}[/tex] е рационално. Вижда се, че [tex]\frac{x}{y}[/tex] е корен на квадратно у-е с коефициенти a, b и c. Т.е. [tex]\frac{x}{y} = u+\sqrt{v}[/tex], за рационални u и v. Като приравним това на израза от условието и запишем полученият израз по такъв начин, че [tex]\sqrt{v}[/tex] да е от едната страна на знака за равенство и повдигнем на квадрат получаваме, че [tex]\sqrt[3]{2}[/tex] е корен на у-е с рационални коефициенти от 2-ра степен. Понеже минималният полином на това число е [tex]x^3-2[/tex], то коефициентите на споменатия квадратен тричлен са нули. От тук следва твърдението на задачата.