Малко анализ, турнир на Декана

[mkmarinov]

Нека f(x) е полином от степен n със старши коефициент 1, който има n различни реални корена. Да се докаже, че за всяко число х, по-голямо от корените на f(x), важи:
а) [tex](f'(x))^n>n^n(f(x))^{n-1}[/tex]
б) [tex]\frac{f'(x)}{1^1}.\frac{f''(x)}{2^2}[/tex] ... [tex]\frac{f^{(n)x}}{n^n}>(f(x))^{\frac{n-1}{2}}[/tex]

[MasterZ]

Интересно заемам се

[ptj]

Мисля, че има малка неточност в условие "а.)". При n=1 се получава равенство, което означава, че или неравенството трябва да е нестрого или корените трябва да са повече от един.

[drago]

[tex]f(x)=\prod_{i=1}^{n}(x-x_i).[/tex]
[tex]f^{'}(x)=f(x)(\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{(x-x_i)} )[/tex].
Като се приложи неравенството м/у ср.аритм и геом. за пол.числа [tex]\frac{1}{x-x_i}[/tex]:
[tex]\frac { \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x-x_i} } {n} >( \frac{1} { \prod_{i=1}^{n}(x-x_i) } )^{\frac{1}{n}}[/tex]
се получава исканото в а)
Равенство се достига за само за n=1.

б) Прилага се последователно а) за [tex]f^{(k)}(x)[/tex] за к=0,1,...n-1. (съобразява се, че всички те удовл. изискванията на а)) и се умножават.