Геометрична задача от USAMTS

[strangerforever]

Даден е триъгълник ABC със страни AB = 3, AC = 4 и BC = 5. [tex]P \in \overline{BC}[/tex] и Q е точката (различна от А), където правата през А и P пресича описаната около ABC окръжност. Да се докаже, че

[tex]PQ < \frac{25}{4\sqrt{6}}[/tex]

[MasterZ]

Не е трудна. Първо разглеждам частния случай, когато т.Р съвпата с т.О(центъра на описаната окр.) вижда се , че неравенството е изпълнено. Сега ни остава да докажем, че това е максималната стойност, която правата PQ може да приеме. Това го доказвам като разглеждам ъгъла QPO и доказвам, че той е по-голям от 90°(P≠O, този случай го разгледахме). От което следва, че PQ е по-малко или равно от 2,5.
П.П. много лесна ми се струва за задача за олимпиада да не би да греша някъде?

[ptj]

Отговора в задачата е малко по-голям от 2.55. Единствения път, който виждам засега е с параметизиране, 2 косинусови теореми и след това екстремум на функция.

П.П. Ако съществува ГМ, вероятно то е когато PQ e перпендикулярна на основата на равнобедрен ▲CAX, където AX=4 и т.X e от описаната окръжност за ▲ABC.

[MasterZ]

Моят метод не върви така ли ?

[ptj]

Моят метод не върви така ли ?

Хипотезата ти не е вярна.

[MasterZ]

Моят метод не върви така ли ?

Хипотезата ти не е вярна.

Защо?

[ganka simeonova]

Под корена не трябва ли да е 5?
Забележете, че ВАС е правоъгълен. Да означим:
[tex]AP=x; PQ=y=>x+y\le 5[/tex]

[tex]=>\sqrt{xy} \le \frac{x+y}{ 2} =\frac{5}{ 2} =>xy\le \frac{25}{ 4} =>PQ=y\le \frac{25}{ 4x }[/tex](1)

Тъй като 1) [tex]x\ge h_a=2,4; \sqrt{5} <2,4=>[/tex]

[tex]PQ=y\le \frac{25}{ 4x }\le \frac{25}{ 4.2,4} <\frac{25}{4\sqrt{5} }[/tex]

[strangerforever]

[tex]PQ=y\le \frac{25}{ 4x }\le \frac{25}{ 4.2,4} <\frac{25}{4\sqrt{5} }[/tex]

По мое мнение, това не е вярно. Обяснявам и защо (основен довод - x e в знаменател)

Верният извод, който можеш да си направиш, според мен, е:

[tex]PQ = y \le \frac{25}{4.2,4} \le \frac{25}{4.x}[/tex]

А къде се намира [tex]\frac{25}{4.\sqrt{5}}[/tex] - дали м/у едното или другото, не можеш да кажеш, защото зависи от стойността на x, т.е. не е винаги по-малко или по-голямо от едното.

Относно другото, когато "заместваш" x-a, забравяш, че той е в знаменател и трябва, "замествайки" го, да обърнеш знака. Изразът [tex]\frac{25}{4x}[/tex] приема НАЙ-ГОЛЯМАТА си стойност за[tex]x \ge 2,4[/tex] при x = 2,4 и когато x клони към безкрайност, изразът намалява стойността си. Сиреч, всичко е вярно, без последния ред. Така че си е корен от 6, но все пак е добра идея и задачата е решена на половина.

[drago]

Със сигурност има чисто геометрично решение. Друго си е, някой друг като се е погрижил за чертежа
1. Максимума се достига, за P_1Q_1, когато Q_1 е среда на дъгата BC. Това се вижда от някакви хлабави и нестроги разсъждения, но ще ги пропусна.
2. След като сме почти сигурни в това, да го докажем, вече чисто геометрично.
Построяваме през Q_1 допирателната l на окр.. Тя е усп. на BC. Айде сега да вземем една друга произволна PQ и с едно успоредно пренасяне да док, че PQ < P_1Q_1.
Надявам се , че не греша
Остава да се сметне само P1Q1, но това не е сложно.

[mkmarinov]

[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{BCQ}} => AP=\frac{6PQ}{S_{BCQ}}[/tex]
[tex]AP.PQ \le \frac{25}{4} <=> PQ^2 \le \frac{25}{24}S_{BCQ} \le \frac{25}{24}.\frac{25}{4}[/tex].
След коренуване се получава желаният резултат. Използвал съм, че лицето на BCQ е максимално, когато той е равнобедрен.

[ganka simeonova]

[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{BCQ}} => AP=\frac{6PQ}{S_{BCQ}}[/tex]
[tex]AP.PQ \le \frac{25}{4} <=> PQ^2 \le \frac{25}{24}S_{BCQ} \le \frac{25}{24}.\frac{25}{4}[/tex].
След коренуване се получава желаният резултат. Използвал съм, че лицето на BCQ е максимално, когато той е равнобедрен.

Не ми е ясно

[ganka simeonova]

[tex]PQ=y\le \frac{25}{ 4x }\le \frac{25}{ 4.2,4} <\frac{25}{4\sqrt{5} }[/tex]

По мое мнение, това не е вярно. Обяснявам и защо (основен довод - x e в знаменател)

Верният извод, който можеш да си направиш, според мен, е:

[tex]PQ = y \le \frac{25}{4.2,4} \le \frac{25}{4.x}[/tex]

А къде се намира [tex]\frac{25}{4.\sqrt{5}}[/tex] - дали м/у едното или другото, не можеш да кажеш, защото зависи от стойността на x, т.е. не е винаги по-малко или по-голямо от едното.

Относно другото, когато "заместваш" x-a, забравяш, че той е в знаменател и трябва, "замествайки" го, да обърнеш знака. Изразът [tex]\frac{25}{4x}[/tex] приема НАЙ-ГОЛЯМАТА си стойност за[tex]x \ge 2,4[/tex] при x = 2,4 и когато x клони към безкрайност, изразът намалява стойността си. Сиреч, всичко е вярно, без последния ред. Така че си е корен от 6, но все пак е добра идея и задачата е решена на половина.

Я, пак си помисли?

[strangerforever]

[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{BCQ}} => AP=\frac{6PQ}{S_{BCQ}}[/tex]
[tex]AP.PQ \le \frac{25}{4} <=> PQ^2 \le \frac{25}{24}S_{BCQ} \le \frac{25}{24}.\frac{25}{4}[/tex].
След коренуване се получава желаният резултат. Използвал съм, че лицето на BCQ е максимално, когато той е равнобедрен.

Приема се.

Я, пак си помисли?

Така е, съгласих се. Грешката (ако има такава) ще я търсим другаде.

[mkmarinov]

Не ми е ясно

Кое е неясно :О .

Между другото, оценката [tex]PQ < \frac{25}{4\sqrt{5}}[/tex] не е грешна, просто недостатъчна и не решава задачата.

[ptj]

[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{BCQ}} => AP=\frac{6PQ}{S_{BCQ}}[/tex]
[tex]AP.PQ \le \frac{25}{4} <=> PQ^2 \le \frac{25}{24}S_{BCQ} \le \frac{25}{24}.\frac{25}{4}[/tex].
След коренуване се получава желаният резултат. Използвал съм, че лицето на BCQ е максимално, когато той е равнобедрен.

Само не разбрах [tex]AP.PQ \le \frac{25}{4}[/tex] от къде дойде.

Ако е от подобните триъгълници, т.е. [tex]\frac{AP}{PB }=\frac{PC}{PQ }[/tex] и неравенство между средните, то равенството очевидно не се достига едновременно с максимума на [tex]S_{BCQ}[/tex]. Макар и да е решение на задачата, оценката не е максимална.

[mkmarinov]

Виж мнението на Ганка, там тя е обяснила защо [tex]AP.PQ \le \frac{25}{4}[/tex]. Че оценката не е максимална си прав - затова и неравенството в условието е строго . Максималната оценка може да се получи чрез въвеждане на неизвестно (което определя напълно задачата), изчисляване на PQ като функция на това неизвестно и намиране на максимума. Обаче ми изглежда дълго .

[strangerforever]

[tex]\frac{AP}{PQ}=\frac{S_{ABC}}{S_{BCQ}} => AP=\frac{6PQ}{S_{BCQ}}[/tex]
[tex]AP.PQ \le \frac{25}{4} <=> PQ^2 \le \frac{25}{24}S_{BCQ} \le \frac{25}{24}.\frac{25}{4}[/tex].
След коренуване се получава желаният резултат. Използвал съм, че лицето на BCQ е максимално, когато той е равнобедрен.

Само не разбрах [tex]AP.PQ \le \frac{25}{4}[/tex] от къде дойде.

Ако е от подобните триъгълници, т.е. [tex]\frac{AP}{PB }=\frac{PC}{PQ }[/tex] и неравенство между средните, то равенството очевидно не се достига едновременно с максимума на [tex]S_{BCQ}[/tex]. Макар и да е решение на задачата, оценката не е максимална.

Точно затова и неравенството накрая е строго.

[drago]

Със сигурност има чисто геометрично решение. Друго си е, някой друг като се е погрижил за чертежа
1. Максимума се достига, за P_1Q_1, когато Q_1 е среда на дъгата BC. Това се вижда от някакви хлабави и нестроги разсъждения, но ще ги пропусна.
2. След като сме почти сигурни в това, да го докажем, вече чисто геометрично.
Построяваме през Q_1 допирателната l на окр.. Тя е усп. на BC. Айде сега да вземем една друга произволна PQ и с едно успоредно пренасяне да док, че PQ < P_1Q_1.
Надявам се , че не греша
Остава да се сметне само P1Q1, но това не е сложно.

Това са големи дивотии! Остава ми утехата, че съм писал и по-големи!
mkmarinov е дал хубаво решение!
Все пак, интересно е дали има сравнително приличен начин да се намери къде е максимума ?

[ganka simeonova]

Ще се пробвам още един път, но не се смейте много

Означаваме ъглите, както са на чертежа.
Прилагаме син. т-ма за [tex]\Delta BPQ=>\frac{QP}{sin\varphi } =\frac{BQ}{ sin(\alpha+\varphi ) }[/tex]

[tex]\Delta BCQ=>BQ=2Rsin(90^\circ -\varphi )=5cos\varphi =>QP=\frac{5cos\varphi sin\varphi }{ \frac{3}{ 5}cos\varphi +\frac{4}{5 } sin \varphi }=\frac{25}{2 }.\frac{sin2\varphi }{ 3cos\varphi +4sin\varphi }[/tex]

Ясно е, че за занменателя, понеже събираемите са положителни можем да приложим СА-СГ=>
[tex]3cos\varphi +4sin\varphi \ge 2\sqrt{3cos\varphi .4sin\varphi } =2\sqrt{6sin2\varphi }[/tex]
(равенство за [tex]tg\varphi =\frac{3}{ 4}[/tex](1)
[tex]=>QP\le \frac{25sin2\varphi }{ 4\sqrt{6sin2\varphi } } =\frac{25\sqrt{sin2\varphi } }{4\sqrt{6} } <\frac{25}{4\sqrt{6} }[/tex]
Последното неравенство за горния ред ще се изроди в равенство, ако [tex]\varphi =45^\circ[/tex](2)
Но (1) и (2) няма как да са изпълнени едновременно=> неравенството ще е строго.

[drago]

Защо да се смеем?
Ти си желязна!
Това решение е по-мотивирано, в смисъл естествено и логично, за сметка на това малко по-дълго.