Нетрудна задачка

[ins-]

На страната AB на триъгълник ABC (вътрешно) е избрана точка D. Ако O, O1, O2 са центровете на окръжностите, описани около ABC, ACD, BCD - да се докаже, че O, O1, O2 и C лежат на една окръжност.

(8-класниците също могат да се пробват да я решат. Приятно решаване на всички!)

[mkmarinov]

Уви, наложи ми се да "мамя" със синусова теорема. Задачката е доста добра!

[ins-]

Има много начини да се реши, например с инверсия. Задачата е "подхлъзваща". Ако някой пусне решение или прояви интерес - ще кажа защо. Казаха ми, че е известна, но за мен не беше такава и без да искам съм я открил самостоятелно като твърдение.

[inveidar]

За остроъгълен триъгълник и когато точката D не е пета на височината през С, всичко е ясно от чертежа.

ostr..JPG (41.76 KiB) Прегледано 278 пъти

Ако D е петата на височината, нещата са още по-прости.
Когато един от ъглите при А или В е тъп, трябва да си направите друг чертеж, но решението е базирано отново на връзката между централен и вписан ъгъл, опиращи се на една и съща хорда.
Ето го чертежа и за тъпоъгълен:

tap.JPG (49.62 KiB) Прегледано 275 пъти

Нищо не се променя и когато ъгъл С е тъп.

[mkmarinov]

И моето решение е подобно. Нека [tex]O_1[/tex] е центърът на една от малките окръжности, който е извън триъгълника (или на страната, когато CD е височина). Нека [tex]\angle CDB=\varphi[/tex], остър е.
[tex]\angle A O_1 C=2\pi-2 \angle ADC=2\varphi[/tex]
[tex]\angle BO_2 C=2\angle BDC= 2\varphi[/tex]
Но триъгълниците [tex]AO_1C; BO_2C[/tex] са равнобедрени с равни ъгли по върховете => и другите им ъгли са равни, по-точно:
[tex]\angle O_1CA=\angle O_2CB => \angle O_1CO_2=\angle ACB[/tex] (Когато CD е височина съвпадат - пак са равни)

[tex]OO_1 \bot AC, OO_2 \bot BC[/tex] (централата е перпендикулярна на общата хорда)
=> [tex]\angle O_1OO_2=\pi-\angle ACB[/tex] (като ъгли с взаимноперпендикулярни рамене)
[tex]\angle O_1OO_2=\pi - \angle O_1CO_2[/tex]

Не мисля, че ще има някаква разлика, ако АВС е тъпоъгълен - частта с центъра на описаната му окръжност си остава същата.

Синусовата теорема я ползвах за да докажа, че ъглите в ПОДОБНИТЕ равнобедрени триъгълници са равни .

[ins-]

Точно частта със случаите имах в предвид. Би могла да се пропусне.