Учител и момче...

[drago]

Едно момче се намира в центъра на кръгло езеро. На брега на езерото стои неговият учител, който не може да плува. Учителят може да тича 4 пъти по-бързо, отколкото момчето може да плува, но не така бързо, както то може да тича. Възможно ли е момчето да избяга от учителят?

Попадна ми от тук: http://www.math10.com/bg/olimpiadi/olim ... nglia.html
Всъщност смятам, че задачата става и за ученик, който има понятие за числото пи , с малко здрава физическа интуиция. ("Физическа" идва от физика. )
Опитах да я дам на племеницата ми, която е 5-ти клас, но май не е за тази възраст ?

[mkmarinov]

Виждал съм я преди тази задача, виждал съм твърдения по нея, но мнението си ми остава същото - математическо решение не съществува. Може и да избяга, може и да не избяга, въпрос на психика и вземане на решения е.

[strangerforever]

Едно момче се намира в центъра на кръгло езеро. На брега на езерото стои неговият учител, който не може да плува. Учителят може да тича 4 пъти по-бързо, отколкото момчето може да плува, но не така бързо, както то може да тича. Възможно ли е момчето да избяга от учителят?

Попадна ми от тук: http://www.math10.com/bg/olimpiadi/olim ... nglia.html
Всъщност смятам, че задачата става и за ученик, който има понятие за числото пи , с малко здрава физическа интуиция. ("Физическа" идва от физика. )
Опитах да я дам на племеницата ми, която е 5-ти клас, но май не е за тази възраст ?

Не.

[portokal]

според мен си съществува математическо решение
момчето трябва да измине 4r разстояние докато учителя в най- лошия случай (когато момчето тръгне в посока обратна на тази към учителя) изминава ∏r

[mkmarinov]

Ами ако момчето се движи по спирала?
(поне в началото)

[portokal]

Ами ако момчето се движи по спирала?
(поне в началото)

тогава ще измине по дълго разстояние от колкото ако се движи в права линия и имайки предвид че скоростта му е константа ще се забави пове4е и у4ителя ще го чака да излезне :Д
правата линия е най краткото разстояние между две точки

[drago]

Не е въпрос на психика.
Момчето има печеливша стратегия!
Разбира се, ако избере най-простата стратегия: да плува към брега по права без да се интересува от действията на даскала, ще бъде хванато. Но има и други възможности...
И може да се направи и математически строго, че да удовлетвори и най-придирчивите.
Но не мисля, че последното, чак толкова е необходимо.

[amsara]

Нека приемем, че момчето плува в посока, обратна на мястото, от което стартира бягането си учителят.
S1 - пътят, изплуван от ученика
S2 - пътят, пробяган от учителя
S1=R; R=v.t; t=R/v
S2=2пR/2=пR; пR=4v.T; T=пR/4v
=>T<t и момчето ще бъде хванато
Но не е казано да плува директно от центъра до брега. Нека да преплува примерно половината разстояние по радиуса и после да плува в кръг, успоредно на брега. Учителят пак ще си тича .В някой момент, който обаче не мога да пресметна кога е, двамата пак ще се намират на една линия от 180°, пресичаща центъра на езерото . Тогава детето пак тръгва направо.
S1=R/2 ; R/2=v.t; t=R/2v
S2=пR; пR=4v.T; T=пR/4v
t<T момчето ще избяга
Но както казах, не мога да сметна кога точно ще настъпи моментът, в който двамата се намират в такава позиция един спрямо друг.

[portokal]

Нека приемем, че момчето плува в посока, обратна на мястото, от което стартира бягането си учителят.
S1 - пътят, изплуван от ученика
S2 - пътят, пробяган от учителя
S1=R; R=v.t; t=R/v
S2=2пR/2=пR; пR=4v.T; T=пR/4v
=>T<t и момчето ще бъде хванато
Но не е казано да плува директно от центъра до брега. Нека да преплува примерно половината разстояние по радиуса и после да плува в кръг, успоредно на брега. Учителят пак ще си тича .В някой момент, който обаче не мога да пресметна кога е, двамата пак ще се намират на една линия от 180°, пресичаща центъра на езерото . Тогава детето пак тръгва направо.
S1=R/2 ; R/2=v.t; t=R/2v
S2=пR; пR=4v.T; T=пR/4v
t<T момчето ще избяга
Но както казах, не мога да сметна кога точно ще настъпи моментът, в който двамата се намират в такава позиция един спрямо друг.

не си права
дори момчето да преплува половината и да започне да се върти учителят ще се движи заедно с него така че разстоянието между тях да е r/2 постоянно докато момчето започне да плува към брега и още момчето започвайки да се върти в кръг започва да изминава маршрут на кръг два пъти по малък,а учителя се движи четири пъти по бързо и пак ще го хване

[strangerforever]

И аз не мисля, че е права. Достатъчно е да кажем, че по което и да е време, учителят може да стигне до най-далечната точка от него по-бързо от момчето. Естествено, приемайки, че учителят винаги се движи "накъдето трябва" и при промяна на посоката на момчето, той се преориентира правилно и веднага.

[allier]

Много е добра задачата. Учителят винаги бяга по по-късата дъга към най-близката точка от момчето до брега, а момчето винаги плува към диаметрално противоположната точка на позицията на учителя. Това разбира се става динамично, като и момчето и учителят променят посоките си във всеки момент.

[amsara]

Много е добра задачата. Учителят винаги бяга по по-късата дъга към най-близката точка от момчето до брега, а момчето винаги плува към диаметрално противоположната точка на позицията на учителя. Това разбира се става динамично, като и момчето и учителят променят посоките си във всеки момент.

По най-късата дъга. Ето това имах предвид. Изплувало половин радиус напред, момчето по права линия се намира на още половин от брега.Почва да плува кръгово,в изчаквателна позиция.Учителят и той не седи на едно място.Няма ли момент в който по-къса дъга за учителя няма, тоест и двете са равни, по 180° Както на чертежа - детето да е червената, а учителят зелената точка.Ако точно в този момент ученикът преплува останалия половин радиус направо, ще стигне по-бързо от учителя си и ще му избяга. R/2 ще е пътят на момчето, а пR на учителя.Дори и при 4 пъти по-ниска скорост на ученика, времето на учителя за достигане на точката от брега, от която момчето излиза, ще е по-дълго.

[drago]

amsara има идея за това, което трябва да стане в крайната фаза- след като са на позицията на чертежа-момчето дава газ до дупка към най-близката точка, без да го интересува, какво прави учителя.
Въпросът е как ще подсигури конфигурацията на чертежа- и това е съществената част от стратегията.
И защо трябва да отива чак до 1/2 от радиуса-там не може да осигури това разположение без даскала да му помогне...

[amsara]

Аз го дадох като пример това 1/2. Иначе сметките показват ,че и при R/4 пак става после номерът. Разбира се при достигане разположението от чертежа. Това продължавам да го мисля как да стане.

[mkmarinov]

До позицията от чертежа се стига при оптимално глупав учител.
Това, което казва allier, си мисля, че е моето предложение - момчето да плува по спирала.
Все пак ще ми е интересно да видя пълното решение .

[drago]

Да забравим за момент тези понятия: спирали, дъги...
Има само учител, момче и относителното им положение.
Може ли до 1/4 момчето да прави така, че винаги да остава на правата, която свързва даскала с центъра ?

[kerry]

Нека радиуса на езерото е R, скоростта на ученика V и скоростта на учителя 4V.

В кръг с радиус R/4 ученикът може стабилно да поддържа диаметралната противоположност. По някаква спирала ученикът може да доплува до тази окръжност и в даден момент разположението да е като на картинката. Ако в този момент ученикът реши да "бяга", започва да плува по най-прекия път. Трябва да преплува разстояние 3R/4 със скорост V.

Това прави време [tex]t_1=\frac{3R}{4V}[/tex]

На учителя времето е [tex]t_2=\frac{\pi R}{4V}[/tex]

Ezero.JPG (5.88 KiB) Прегледано 501 пъти

Ученикът ще избяга, защото макар и с малко, но [tex]3 < \pi[/tex]

[popawili]

Задачата е обратната на задачата за определяне на кривата на гонидбата от "изследване на операциите".
Фактически то се движи по парабола с коефицент [tex]\pi[/tex].
Момчето плува така,че учителя винаги да е зад гърба му.

[popawili]

Само да допълня,че начина описан по горе дава на момчето преднина от [tex]\pi r[/tex] и сигурно ще му остане достатъчно време за почивка и подсушаване. Може да си позволи след като е изминал разстояние от центъра[tex]\ge \frac{1}{ \pi }r[/tex] да плава по правата на диаметъра, но ще си бяга гол и мокър.

[strangerforever]

По някаква спирала ученикът може да доплува до тази окръжност и в даден момент разположението да е като на картинката.

Доказателство? Не можеш просто така да кажеш, че "може".

[popawili]

Помислих ,че на мен говориш.

[drago]

А бе хора, какво ме направихте, направо ми скрихте шайбата !!!
...крива на гонитбата, изследване на операциите, парабола с коефициент пи, 3 по ер делено на ве...
Знанието трябва да помага на човек, а не да му пречи!

[popawili]

А бе хора, какво ме направихте, направо ми скрихте шайбата !!!
...крива на гонитбата, изследване на операциите, парабола с коефициент пи, 3 по ер делено на ве...
Знанието трябва да помага на човек, а не да му пречи!

Нали после съм го казал с прости думи.
Плува така,че учителя винаги да е зад гърба му.
Тъй като тръгва от центъра то и той,центъра и учителя са винаги на една права.
Писал съм каква е кривата по която се движи само за информация. Както и произхода на задачата.
Вместо това можеше да видиш дали е верен отговора. А той си е.

[popawili]

Първия отговор дава максимална преднина,а във втория допълних и другите решения.

[drago]

popawili,
извинявай, ако съм те засегнал, не беше персонално.
Как да кажа, че е верен отговора: "Плува така,че учителя винаги да е зад гърба му." Това обосновка ли е?
Ако имаш предвид "точно, ама точно зад гърба"(на една права с центъра), то има предел, докъдето може да стигне така. Иначе излиза, че може да излезе от езерото, като учителя все още му е зад гърба... ако е заспал.