сп. Квант, М2197

[drago]

Даден e полином [tex]P(x)[/tex], [tex]n \ge 3[/tex] с [tex]n[/tex] реални корени [tex]x_1, x_2,...,x_n[/tex], като: [tex]x_2-x_1 \lt x_3-x_2 \lt ... \lt x_n - x_{n-1}[/tex]. Докажете, че максимума на функцията [tex]|P(x)|[/tex] в интервала [tex][x_1; x_n][/tex] се достига в точка от интервала [tex][x_{n-1}; x_n][/tex].
http://estoyanov.net/?p=3360

[drago]

Отдавна не бях разглеждал Квант и така ми попадна.
Предполагам задачата е известна на някои. Давана е на финалния кръг на Всеруската олимпиада 2010. Други сигурно са я решили, но нямат желание да отделят 10 мин., за да постнат решението. Разбираемо е. На трети не им е интересна.
Без значение в кой от случаите попада всеки от 50-те човека, които са я погледнали, не виждам смисъл аз да го поствам. Прилича малко като да си говориш сам. Не че не се случва, но трябва да е с мярка- като пиенето!
Все пак, ако някой има интерес към задачата, би могло да коментираме на ЛС.

[drago]

Индукция по n. Нека твърдението е вярно за [tex]n-1[/tex]. Разгл [tex]x_1, x_2,...,x_n[/tex]. Прилагаме индукцията за [tex]x_2,...,x_n[/tex].
За [tex]x\in[x_2,x_n], \exists y\in[x_{n-1},x_n][/tex] т.ч. [tex]|(x-x_2)...(x-x_n)| \le |(y-x_2)...(y-x_n)| \Rightarrow |(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)| \le |(y-x_1)(y-x_2)...(y-x_n)|[/tex].
Остава да покажем, че за [tex]\forall x \in [x_1,x_2] \exists y \in [x_{n-1},x_n][/tex] с по-голямо произведение. Фиксираме [tex]x \in [x_1,x_2].[/tex]
Избираме [tex]y \in [x_{n-1},x_n][/tex] т.ч. [tex]x_n-y=x-x_1[/tex]. За [tex]2 \le k \le n[/tex] имаме:
(1) [tex]x_k-x=x_1-x+\sum_{j=1}^{k-1}(x_{j+1}-x_j)[/tex]
(2) [tex]y-x_{n+1-k}=y-x_n + \sum_{j=1}^{k-1}(x_{n+1-j}-x_{n+1-(j+1)})[/tex]
Oт (1) и (2) и растенето на интервалите [tex][x_j,x_{j+1}][/tex] следва [tex]|x-x_k| \le |y-x_{n+1-k}|[/tex].
Като ги умножим получаваме исканото.