neravenstvo

[N.Stavrev]

Нека [tex]a,b,c[/tex] са положителни реални числа със сума [tex]s[/tex], докажете че ако [tex]s\le3[/tex], то
[tex]\frac{3a^2-5sa+s^2+4s}{ 2b^2+5bc+2c^2} + \frac{3b^2-5sb+s^2+4s}{2c^2+5ca+2a^2 } + \frac{3c^2-5sc+s^2+4s}{2a^2+5ab+2b^2 }\ge 3[/tex]

[Станислав]

Неравенството е симетрично и след като прехвърлим всичко отляво получаваме, че лявата страна е вдлъбната функция по [tex]abc[/tex]. Значи е достатъчно да проверим случаите [tex]a=b[/tex] или [tex]a\rightarrow 0^+[/tex].

[N.Stavrev]

я разпиши

[drago]

Неравенството е симетрично и след като прехвърлим всичко отляво получаваме, че лявата страна е вдлъбната функция по [tex]abc[/tex]. Значи е достатъчно да проверим случаите [tex]a=b[/tex] или [tex]a\rightarrow 0^+[/tex].

Има някаква идея в това, но сигурно има яки сметки...да се мине към [tex]\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3[/tex] и се провери вдлъбнатостта по [tex]\sigma_3[/tex], ако е вярно?
Както и да така с гледане не мога да го съобразя.

Озн. с A първия член от 3-те суми.
(1) [tex]2b^2+2c^2+5bc=2(b+c)^2+bc \le \frac{9}{4}(b+c)^2[/tex] (от нер. СА-СГ)
Означаваме [tex]s_1=b+c[/tex].От (1)=>
[tex]A \ge \frac{4}{9}\{3+\frac{4s-s_1s-s^2}{s_1^2}\}[/tex].
Изслeдваме [tex]f(s_1,s)=\frac{4s-s_1s-s^2}{s_1^2}[/tex].
като се напише първата производна по [tex]s_1[/tex], се оказва, че минимума се достига за [tex]s_1=2(4-s)[/tex] и е равен на:
[tex]-\frac{1}{4}.\frac{s}{4-s}[/tex].
Последното е намаляващо при [tex]s \in (0,4)[/tex]. Значи минимума се достига за [tex]s=3[/tex] и е [tex]-\frac{3}{4}[/tex].
Като цяло [tex]A \ge \frac{4}{9}(3-\frac{3}{4})=1[/tex].
Аналогично за другите 3 члена.
Равенството се достига за [tex]a=b=c=1, s=3[/tex].

[Станислав]

Няма никакви сметки - на око може да се съобрази, че имаме квадратна функция на [tex]abc[/tex] и лесно се съобразява, че коефициентът пред [tex](abc)^2[/tex] е отрицателен.

[drago]

Няма никакви сметки - на око може да се съобрази, че имаме квадратна функция на [tex]abc[/tex] и лесно се съобразява, че коефициентът пред [tex](abc)^2[/tex] е отрицателен.