Геометрична задача

[ksen_93]

В триъгълник ABC са построени три чевиани [tex]AA_1,BB_1,CC_1[/tex],които се пресичат в точка О.Сборът от лицата на триъгълниците [tex]OAB_1 , OCB_1 , OBA_1[/tex]е равен на сбора от лицата на триъгълниците [tex]OAC_1, OCB_1 , OBA_1[/tex] Да се докаже,че поне една от чевианите,е медиана

[drago]

Само я вдигам нагоре, да не я изтървем покрай повечето бози.
Трябва да има някакво красиво решение без много сметки. За съжаление ми убягва.

[allier]

Добре си писал съобщение, че аз въобще не съм я видял задачата, а изглежда интересна. Предполагам е объркано условието по-горе т.е. буквите, защото два от триъгълниците съвпадат, и се има предвид симетричната конфигурация.

[ksen_93]

Има грешка,за което много се извинявам.Грешката е при първите три триъгълника,трябва да са:
[tex]OAB_1, OBC_1, OCA_1[/tex]

[drago]

Да означим [tex]S_1=S_{OAB}, S_2=S_{OBC}, S_3=S_{OCA}.[/tex]
Тогава: [tex]\frac{S_{OBA_1}}{S_2}=\frac{S_1}{S_1+S_3} \Rightarrow S_{OBA_1}=\frac{S_1S_2}{S_1+S_3}.[/tex]
От тук ако означим с [tex]D[/tex] разликата м/у лицата на 2-рата тройка триъг. и първата тройка=>
[tex]D=\sum_{cyc}\frac{S_1S_2}{S_1+S_3} - \sum_{cyc}\frac{S_3S_2}{S_1+S_3}[/tex]
След 1 страница преобразувания =>
[tex]D=\frac{(S_1+S_2+S_3)(S_2-S_1)(S_3-S_2)(S_3-S_1)}{(S_1+S_2)(S_2+S_3)(S_1+S_3)}[/tex]
Нататък е ясно.