Намерете...

[portokal]

Намерете всички непрекъснати функции [tex]f:R -> R[/tex] такива, че

[tex](f(x)f(y)-1)f(x+y)=2f(x)f(y)-f(x)-f(y)[/tex]

за произволни [tex]x,y\in R[/tex]

[ksen_93]

Заместваме с [tex]x=y=0[/tex] и получаваме:
[tex](f(0)-1)(f(0)+1)=2(f(0)-1)[/tex], откъдето имаме [tex]f(0)=0 \cup f(0)=1[/tex]
Ако [tex]f(0)=1[/tex] заместваме y=0:
[tex](f(x)-1)f(1) = f(x) -1[/tex]
[tex]=> f(x)=1=const \cup f(1)=0[/tex] Ако [tex]f(1) = 0[/tex] за [tex]x=y=1:
f(2)=0[/tex] и по индукция f(x)=0, което противоречи на f(0)=1.
Ако [tex]f(0) = 0[/tex] заместваме [tex]y=-x[/tex] и [tex]y=x[/tex]:
[tex]2f(x)f(-x)=f(x) + f(-x) (1)[/tex]
[tex]f(x-1)f(x+1)f(2x)=2f(x)(f(x)-1)[/tex]
От тук [tex]f(x)=1=const \cup f(x+1)f(2x)=2f(x)[/tex]
При [tex]x=-1[/tex] имаме
[tex]f(-1)=0[/tex] и от (1)
[tex]f(1)=0, f(2)=0[/tex] и по индукция [tex]f(x)=0[/tex], то или [tex]f(x+1)=0[/tex], или [tex]f(2x)=0[/tex],т.е. [tex]f(x)=0.[/tex]
[tex]=>f(x)=0[/tex] и [tex]f(x)=1[/tex]

[drago]

А къде се използва, че функцията е непрекъсната ? То не е случайно!

[portokal]

А къде се използва, че функцията е непрекъсната ? То не е случайно!

той го е използвал, просто не го е написал... и аз я реших по подобен начин
колкото до непрекъснатостта, драго, там където пише, че [tex]f(0)=1[/tex] се заключва от това, че функцията е непрекъсната (в точка 0), после полагането у=0 води до [tex]f(x)=1[/tex]...
ПС: браво ksen_93, въпреки, че според мен има лека неточност в твоето решение, отговорите ни съвпадат
Tи в началото делиш на f(x), което в последствие се оказва че е 0 или единица ... по точно ще е, ако ако предположим че [tex]f(x_{0})=1[/tex] и от там [tex]x=y=\frac{x_{0}}{2}[/tex] ... получава се [tex](f(\frac{x_{0}}{2})-1)^2=0[/tex] и от там [tex]f(\frac{x_{0}}{2})=1[/tex], но понеже f е непрекъсната функция в точка 0 имаме [tex]f(0)=1[/tex] и после имаш друго полагане за да получиш f(x)=0 ...

[ksen_93]

А къде се използва, че функцията е непрекъсната ? То не е случайно!

той го е използвал, просто не го е написал... и аз я реших по подобен начин
колкото до непрекъснатостта, драго, там където пише, че [tex]f(0)=1[/tex] се заключва от това, че функцията е непрекъсната (в точка 0), после полагането у=0 води до [tex]f(x)=1[/tex]...
ПС: браво ksen_93, въпреки, че според мен има лека неточност в твоето решение, отговорите ни съвпадат
Tи в началото делиш на f(x), което в последствие се оказва че е 0 или единица ... по точно ще е, ако ако предположим че [tex]f(x_{0})=1[/tex] и от там [tex]x=y=\frac{x_{0}}{2}[/tex] ... получава се [tex](f(\frac{x_{0}}{2})-1)^2=0[/tex] и от там [tex]f(\frac{x_{0}}{2})=1[/tex], но понеже f е непрекъсната функция в точка 0 имаме [tex]f(0)=1[/tex] и после имаш друго полагане за да получиш f(x)=0 ...

А по принцип вярно ли е,че aко f(0)=1,a f(x)=1, то е противоречие,и освен това, защо е неточно,като аз преди да разделя на f(0) разглеждам възможността 0 и после получавам съответно f(0)=1?Ако може да ми обясниш,тъй като и аз не съм напълно убедена в тази част от решението

[portokal]

аз лично и така я считам за решена, но мисля, че ако се проверява, не може да се дели така, понеже имаш f(0)=0 като решение, аз дори не разбирам защо делиш на f(0), че после и проверки да правиш

[tex](f^2(0)-1)f(0)=2f(0)(f(0)-1)[/tex] ти тук делиш на f(0), което в последствие трябва да е различно от 0
а може да продължиш с прехвърляне
[tex](f^2(0)-1)f(0)-2f(0)(f(0)-1)=0[/tex]
[tex]f(0)\left((f^2(0)-1)-2(f(0)-1)\right)=0[/tex]
[tex]f(0)(f(0)-1)^2=0[/tex]
и от тук [tex]f(0)=0[/tex] и [tex]f(0)=1[/tex]
то е г.д едно и също просто записа е добре да е малко по-точен
наистина е нещо минимално.. бих казал, че задачата си е решена и всичко си разбрала
даже и като се замисля, твоят начин е доста по-добър, понеже аз полагам и втори път, когато [tex]f(x)\ne 1[/tex] със[tex]g(x)=\frac{f(x)}{f(x)-1}[/tex] и става по-дълго ...

[allier]

Притеснява ме, че има индукция, а фукцията е дефинирана върху реалните числа? Т.е. това, че е нула (или константа) върху целите, не я прави нула или константа върху реалните. Ако се докара до рационални, тогава по непрекъснатост ще следва и за реални.

P.S. Не е пълно решението в крайна сметка - от f(x)=0 наистина следва, че f(x+1) или f(2x) са нули, но това не ни води до извода, че е нула за всяко цяло даже.

[ksen_93]

В последствие сама си намерих грешка.При заместването [tex]x=y[/tex] се получава:
[tex](f(x)^2-1)f(2x)=2f(x)^2-2f(x)[/tex]
[tex](f(x)-1)(f(x)+1)f(2x)=2f(x)(f(x)-1)[/tex]
[tex](f(x)-1)((f(x+1)f(2x)-2f(x)=0[/tex] , т.е.
[tex]f(x)=1=const[/tex] или [tex]f(x+1)f(2x)=2f(x)[/tex]
Въпросът ми е дали ако при [tex]x=-y[/tex] при заместването сме получили:
[tex]2f(x)f(-x)=f(x)+f(-x)[/tex] и заменим [tex]-x -> x[/tex]
[tex]2f(x)^2=2f(x)[/tex]
[tex]2f(x)(f(x)-1)=0[/tex] и съответно [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]f(x)=1[/tex] е възможно решение на проблема?

[portokal]

В последствие сама си намерих грешка.При заместването [tex]x=y[/tex] се получава:
[tex](f(x)^2-1)f(2x)=2f(x)^2-2f(x)[/tex]
[tex](f(x)-1)(f(x)+1)f(2x)=2f(x)(f(x)-1)[/tex]
[tex](f(x)-1)((f(x+1)f(2x)-2f(x)=0[/tex] , т.е.
[tex]f(x)=1=const[/tex] или [tex]f(x+1)f(2x)=2f(x)[/tex]
Въпросът ми е дали ако при [tex]x=-y[/tex] при заместването сме получили:
[tex]2f(x)f(-x)=f(x)+f(-x)[/tex] и заменим [tex]-x -> x[/tex]
[tex]2f(x)^2=2f(x)[/tex]
[tex]2f(x)(f(x)-1)=0[/tex] и съответно [tex]f(x)=0[/tex] и [tex]f(x)=1[/tex] е възможно решение на проблема?

ей така както си го разгледала просто тръгни с това "предполагаме, че f(2x)=1" и не разделяй на f(x)-1, понеже f(x)=1 излиза като решение, после разгледай и f(x)≠1 и тогава вече можеш да делиш и да получиш евентуално f(x)=0
като цяло разсъжденията мисля, че са верни, но не можеш да делиш така и от там тази неточност, колкото до индукцията.. не мога да се изкажа, понеже от скоро я знам ;д, на мен ми се стори правилна, но не съм вече убеден и за нея

[allier]

Не е вярно и това решение. От (f(x)-1)g(x)=0, не следва, че или f(x)=1 тъждествено или g(x)=0. Може да се получи, че f(x)=1 за всички нечетни цели числа например, а g(x)=0 за всички останали реални.

[portokal]

Не е вярно и това решение. От (f(x)-1)g(x)=0, не следва, че или f(x)=1 тъждествено или g(x)=0. Може да се получи, че f(x)=1 за всички нечетни цели числа например, а g(x)=0 за всички останали реални.

точно така както тя е тръгнала е правилно според мен, трябва да се допълни и ще изглежда така
(пиша това, което съм направил аз,понеже вече се съмнявам, че и то е вярно)
нека предположим, че [tex]f(x_{0})=1[/tex] за някоя точка ;
после нека [tex]x=y=\frac{x_{0}}{2}[/tex] равенството по условие ще добие вида [tex](f(\frac{x_{0}}{2})-1)^2=0[/tex] и от тук
[tex]f(\frac{x_{0}}{2})=1[/tex], но нали функцията е непрекъсната в точка 0, значи [tex]f(0)=1[/tex] после това полагане, което и тя прави [tex]y=0[/tex] води до [tex](f(x)-1)^2=0[/tex] и от тук вече е ясно, че [tex]f(x)=1[/tex] е решение на задачата

[allier]

Добре, това е вярно. Остава да се разгледа случая, когато функцията не приема 1-ца като стойност въобще.

[portokal]

Ето как се процедирало във втория случай ... лично аз бях сбъркал малко :Д
Kогато [tex]f(x)\ne 1[/tex] полагаме [tex]g(x)=\frac{f(x)}{f(x)-1}[/tex] равенството от условието става
[tex]g(x+y)=g(x)+g(y)[/tex], но [tex]g[/tex] е непрекъсната функция, значи [tex]g(x)=ax[/tex] за някакво число [tex]a\in R[/tex] и понеже [tex]g(x)\ne 1[/tex] за всяко [tex]x[/tex] то [tex]a=0[/tex] и от там [tex]f(x)=0[/tex] е също решение на задачата

[allier]

Да, така става. Браво.