Нека 4(a^n+1) е точен куб за всяко n, Докажете а=1

[Станислав]

Нека [tex]4(a^n+1)[/tex] е точен куб за всяко [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]. Да се докаже, че [tex]a=1[/tex].

[mkmarinov]

A n къде участва в условието на задачата? Сигурно си имал предвид
"е точен куб за всяко естествено а".

[Станислав]

Промених условието - извинявам се за грешката.

[strangerforever]

Нека [tex]4(a^n+1)[/tex] е точен куб за всяко [tex]n\in\mathbb{N}[/tex]. Да се докаже, че [tex]a=1[/tex].

Условието е нереално.

П.С.: Ако наистина това е условието, допускаме, че [tex]a = 1[/tex], [tex]1^n = 1[/tex], [tex]4(1+1) = 8 = 2^3[/tex], но мисля, че друга е идеята на задачата.

[mkmarinov]

Тълкувай си го по следният начин:
"Да се докаже, че това може да бъде изпълнено само за а=1"
По решението, очевидно а е нечетно. Двойката трябва да участва 3к+1 пъти в каноничното разлагане на [tex]a^n+1[/tex] за всяко n, от което (според мен) ще излезе противоречие.

[Станислав]

Резонно предположение, но моето решение не го използва. Пробвай, може и да излезне!

[drago]

Да допуснем, че съществуват [tex]m[/tex] и просто [tex]p>2[/tex] т.ч. [tex]p / a^m+1[/tex] и нека:
(1) [tex]s[/tex] e най-високата стepen на p, [tex]p^s/a^m+1[/tex]
=> [tex]a^m=kp^s-1[/tex], [tex]p[/tex] не дели [tex]k[/tex].
Избираме [tex]n=mp[/tex].
[tex]a^n=a^{mp}=(kp^s-1)^p= Ap^{s+2}+kp^{s+1}-1[/tex] =>
(2) [tex]s+1[/tex] е най-високата ст. на p, т.ч. [tex]p^{s+1} / a^n+1[/tex]
(1) и (2) противоречат на условието, тъй като не може едновременно s и s+1 да са кратни на 3.
Значи за [tex]\forall n, a^n+1=2^{r(n)}[/tex] Ako a>1 то r(n) e строго растяща =>
[tex]2^{r(3n)}= a^{3n}+1=(a^n+1)(a^{2n}+1-a^n-1+1)=2^{r(n)}(2^{r(2n)}-2^{r(n)}+1)[/tex]...и така не става
Остава a=1.

[Станислав]

Последния ти ред "и така не става" не го загрях. Иначе моето решение е малко по-различно. Ще се радвам да се опитате да намерите и други доказателства ;]

[drago]

Последният ред...
[tex]2^{r(3n)-r(n)} = 2^{r(2n)}-2^{r(n)}+1[/tex]
Лявата страна е четна, дясната не е !
Аз също с удоволствие ще проследя и други решения, така че можеш и ти да го постнеш по някое време.
Само ще те помоля да е малко по-подробно от това: viewtopic.php?f=10&t=4824&p=24237#p24186
Поздрави!

[Станислав]

Всъщност [tex]r(3n)=r(n)[/tex] за всяко [tex]n[/tex], т.е това заключение е грешно. Например, [tex]2^2||3^1+1[/tex] и [tex]2^2||3^3+1=28[/tex].

[drago]

Прочети внимателно ще един път решението!
на финала остава само възможността [tex]a^n+1=2^{r(n)}[/tex].
а не: [tex]2^{r(n)} / a^n+1[/tex]
в този случай r(n) е строго растяща нали ?!

[Станислав]

Да, прав си ;]

[drago]

Ако имаш предвид друго решение, пусни го!
Би ми било интересно, особено, ако идеята е различна от тази, която използвам:
Вземаме едно n, и един прост делител p на a^n+1. Тогава степента, в която p влиза в разл. на a^n+1, трябва да удовлетворява определени условия. Допускаме, че е така и измисляме друго n, така че за него тези условия да са нарушени.

[Станислав]

Това правя и аз, но по друг начин. Доказателството ми завършва различно от твоето, но твоето завършване повече ми харесва :]