Максималния брой различни стойности на f(u) ?

[drago]

На всеки вектор [tex]\bold{u}[/tex] (с начало в [tex]O[/tex] )в тримерното пространство е съпоставено [tex]f(\bold{u}) \in \mathbb{R}[/tex]. [tex]f[/tex] има свойството:
[tex]f(a \bold{u} + b \bold{v}) \le max\{f(\bold{u}), f(\bold{v})\}, \forall a,b \in \mathbb{R}[/tex].
Какъв максимален брой различни стойности може да приема тази функция?

Задачата е давана на финален кръг на Московска олимпиада.

[drago]

Лично мен задачата много ме накефи. Като за начало е малко странна, после, като си я преведе човек ми се стори лесна, после обаче нещо зацикли, накрая се получи някакво ограничение за стойностите, а пък измислянето на самия пример също е любопитно... Вече в решенията видях, че има любопитна история, а също и хубаво се обобщава, а като се обобщи се решава и по-лесно, но пък става малко не за ученическа олимпиада.
Но всичко по реда си...

[allier]

Най-много 4 са стойностите (2 часа през нощта е, така че може и да не съм разбрал съвсем вярно условието). В една равнина не може да има повече от две различни стойности и ако единичните вектори са еднакви, имаме още най-много три стойности, ако са различни, не може да имаме други т.е. максимум 3, и ако два са равни и третият различен, пак най-много 4 стават. За пример ще помисля.

[drago]

Според мен си разбрал вярно условието,
Наистина в една равнина, ако минава през [tex]O[/tex] обаче, не може да има повече от 2 рзлични стойности, ако не броим стойността в 0-левия вектор. Това следва директно от условието. Т.е. възможни са са наи-много 3 разл. стойности в равнина през [tex]O[/tex]. Нататък обаче не го разбрах

[drago]

Първо от условието лесно се вижда:
(1) [tex]f(a \bold{u} + b \bold{v}+c w) \le max\{f(\bold{u}), f(\bold{v}), f(w)\}, \forall a,b,c \in \mathbb{R}[/tex]
За момент да се съсредоточим само на стойностите в/у [tex]\mathbb{R^3} \setminus 0[/tex]
Да доп., че там има 4 разл. ст. [tex]f(u_1) \lt f(u_2) \lt f(u_3) \lt f(u_4).[/tex]
Сега ако [tex]u_1,u_2,u_3[/tex] са лин. независими ще получим противоречие с (1), тъй като [tex]u_4[/tex] ще е някаква тяхна лин. комбинация.
Значи [tex]u_1,u_2,u_3[/tex] лежат е една равнина през O. Ако допуснем, че [tex]u_1 , u_2[/tex] са лин. независими => пак противоречие, тъй като [tex]u_3[/tex]ще е някаква тяхна комбинация и няма как ст. на f там да е > от ст. в u_1 и u_2
Значи [tex]u_1[/tex]и [tex]u_2[/tex] са в/у една права през О и тъй като са разл. от 0 пак пол. противоречие с условието.
Така че извън 0-вия вектор може да има най-много 3 разл. ст-ти на f т.е. изобщо най-много 4.
Това се достига. Пример: [tex]X,Y,Z[/tex] са стандартните координатни прави (абциса, ордината, ..бла-бла)
f(0)=0; f =1 върху [tex]X\setminus 0[/tex], f=2 в/у [tex]OXY\setminus X[/tex], f=3 в/у [tex]OXYZ\setminus OXY[/tex]. Проверете...
Има и друго не толкова "комбинаторно" решение, което според мен е "истината" за тази задача.

[drago]

Всъщност другото решение, не е нещо коренно различно от горното, но е изчистено от всички "комбинаторни" елементи. Някаква мотивация, за да се стигне до него е в спускането надолу в първото реш. и най-вече в дадения пример, за съществуване. Там ф-ята приема ст. 0 само в 0-лата, стойности 0 или 1- в/у права, 0, 1 или 2 - в/у раванина и 0,1,2,3 в/у цялото пространство.
И така, нека [tex]a \in \mathbb{R}[/tex]. Да означим: [tex]L_a = \{u| f(u) \le a\}[/tex]. Проверява се по дефиниция, че ако [tex]L_a[/tex] не е празно, то е линейно подпространство на [tex]\mathbb{R^3}[/tex]. В тримерното п-во лин. подпространства са: точка(0-та), права, равнина(през 0-та), самото R^3.
При това, очевидно е, че ако [tex]a, b[/tex] са стойности на [tex]f[/tex] и [tex]a \lt b \Rightarrow[/tex]
[tex]L_a \,\, {\small{\subset \atop \tiny\neq }}\,\, L_b[/tex] .
От тук, ако [tex]a_1 \lt a_2 \lt... \lt a_k[/tex] са стойности на [tex]f[/tex], то:
[tex]L_{a_1} \,\, {\small{\subset \atop \tiny\neq }}\,\, L_{a_2} \,\, {\small{\subset \atop \tiny\neq }}\,\, ... \,\, {\small{\subset \atop \tiny\neq }}\,\, L_{a_k}[/tex]
Това изначава, че имат нарастваща размерност. В тримерния случай, това няма как да се случи , ако [tex]k \gt 4[/tex], тъй като няма как да наденем едно в друго с нарастваща на размерността повече от: точка(0-та), права, равнина, самото [tex]R^3[/tex].
В n-мерния случай, възможните стойности са не повече от n+1.