Рационално ли е числото

[Ксения Цочева]

За всяко число [tex]n[/tex] означаваме с [tex]a_n[/tex] първата цифра на [tex]2^n[/tex].Рационално ли е числото [tex]0,a_1a_2a_3.......?[/tex]

[mkmarinov]

[tex]x=0,248136...[/tex]
Нека редицата [tex]a_n[/tex] е периодична с период k. (еквивалентно на това числото да е рационално)
[tex]a_{n+k}\equiv a_n\equiv a_{n+2k} \equiv a_{n+mk}[/tex] за всяко цяло число m.
=> първата цифра на [tex](2^{k})^l.2^n[/tex] е равна на първата цифра на [tex](2^{k})^m.2^n[/tex] за всеки три естествени числа m, n, l, като m,l могат да са 0.
Нека n=1:
[tex]2[/tex]= ПЦ [tex]2.(2^{m})^k[/tex], т.е. ПЦ [tex]2^{mk}[/tex]=1 за всяко m. (ако някой иска доказателство на това - да каже)
Тогава обаче се налага [tex]2^k[/tex] да е точна степен на десятката, което е невъзможно.

Числото е ирационално.

[drago]

[tex]x=0,248136...[/tex]
Нека редицата [tex]a_n[/tex] е периодична с период k. (еквивалентно на това числото да е рационално)
[tex]a_{n+k}\equiv a_n\equiv a_{n+2k} \equiv a_{n+mk}[/tex] за всяко цяло число m.
=> първата цифра на [tex](2^{k})^l.2^n[/tex] е равна на първата цифра на [tex](2^{k})^m.2^n[/tex] за всеки три естествени числа m, n, l, като m,l могат да са 0.
Нека n=1:
[tex]2[/tex]= ПЦ [tex]2.(2^{m})^k[/tex], т.е. ПЦ [tex]2^{mk}[/tex]=1 за всяко m. (ако някой иска доказателство на това - да каже)
Тогава обаче се налага [tex]2^k[/tex] да е точна степен на десятката, което е невъзможно.

Числото е ирационално.

Нещо такова е, но не точно. Защото редицата може да е периодична от някое място нататък. Не още от началото!