Две задачи от олимпиада

[baroveca]

1.Даден е остроъгълен триъгълник АВС. Точките А1,В1,С1 са симетрични на ортоцентъра Н, спрямо страните ВС, АС И АВ съответно.
1.Докажете,че точките А1,В1,С1 лежат на описаната около триъгълник АВС окръжност
2.Докажете,че [tex]S_{A_1B_1C_1}=8S_{ABC}.cos\alpha.cos\beta.cos\gamma[/tex], където [tex]\alpha ,\beta ,\gamma[/tex] са ъглите в триъгълник АВС.

2.Редицата [tex]a_1,a_2,a_3......a_n...[/tex] е дефинирана с равенствата [tex]a_1=0; 3a_{n+1}=a_n+\sqrt{3a_n^2+1}[/tex] Докажете,че
1.[tex]a_n<1[/tex] за всяко n
2. Редицата [tex](a_n)^\infty _{n=1}[/tex] е сходяща
Благодаря предварително!

[ganka simeonova]

Иване, една градивна критика.
В тази задача няма нищо особено. Тя е съвкупност от Основни Задачи
а) ОЗ от 8 клас.
[tex]\angle HAQ=\angle QCB=\angle 90^\circ -\beta ; \angle QAC_1=\angle QCB=90^\circ -\beta[/tex](последните са вписани и се измерват с една и съща дъга)
=>еднаквост по 2 признак на [tex]\Delta AHQ;\Delta AC_1Q=>HQ=QC_1[/tex]
Аналогично и за останалите.
Ясно е, че триъгълниците [tex]\Delta PFQ; \Delta B_1A_1C_1[/tex] са подобни. Страните на първия са средни отсечки. Тогава коефициенатът на подобие на големия към малкия е 2.
Следва 2 ОЗ:
ТРиъгълниците [tex]\Delta PFC; \Delta BAC[/tex] са подобни с коефициент на подобие- косинусът на общия им ъгъл, т.е.
[tex]PF=c.cos\gamma[/tex]
Аналогично:[tex]QF=b.cos\beta ; PQ=a.cos\alpha[/tex]
Тогава: [tex]A_1B_1=2PF=2c.cos\gamma ; B_1C_1=2PQ=2a.cos\alpha[/tex]
[tex]=>S_{A_1B_1C_1}=\frac{1}{2 } .A_1B_1.B_1C_1.sin\angle C_1B_1A_1=[/tex]
[tex]=\frac{1}{ 2} 2c.cos\gamma .2a.cos\alpha .sin2\beta =[/tex]
[tex]=\frac{1}{ 2} 2c.cos\gamma .2a.cos\alpha .2sin\beta .cos\beta =[/tex]
[tex]=8(\frac{1}{2 } ac.sin\beta )cos\alpha .cos\beta .cos\gamma =8S_{ABC}.cos\alpha .cos\beta .cos\gamma[/tex]

Не мога да пратя чертеж. Значи заб: [tex]F, P, Q[/tex]-с апетите на височините през А, В, С към страните.

[baroveca]

Ами така е....като не съм бил мъчен в 8 клас...няма и да знам основните задачи..не може ли по някакъв начин да направите чертеж? Че нещо...зацепих....

[ganka simeonova]

Ами тази опция за пращане я няма в момента. Сега зададох въпрос на админа.
Ще ти пратя по скайп.

[ganka simeonova]

Прикачих и чертеж към решението.

[Ксения Цочева]

Относно 2 задача първо доказваме,че [tex]a_n>0[/tex] за всяко n,което следва по индукция.От това отново по индукция допускаме,че [tex]a_n<1[/tex] Тогава [tex]a_n+1<\frac{1+\sqrt{4} }{ 3} < 1[/tex] ,с което а) е доказана.
За б) от а) имаме ,че [tex]0<a_n<1[/tex] и имаме ограниченост.Остава да докажем монотонност.Разписваме [tex]a_n+1 - a_n[/tex] и достига до [tex]<=> a_n ^ 2<1[/tex] ,което очевидно е изпълнено.Задачите бяха на Общински кръг в 11 клас в Плевен.От Плевен ли си,или просто задачите се дублират

[Ксения Цочева]

Относно геометрията,съм я решила по подобен начин с формулата [tex]S=\frac{abc}{ 4R}[/tex]

[baroveca]

Относно 2 задача първо доказваме,че [tex]a_n>0[/tex] за всяко n,което следва по индукция.От това отново по индукция допускаме,че [tex]a_n<1[/tex] Тогава [tex]a_n+1<\frac{1+\sqrt{4} }{ 3} < 1[/tex] ,с което а) е доказана.
За б) от а) имаме ,че [tex]0<a_n<1[/tex] и имаме ограниченост.Остава да докажем монотонност.Разписваме [tex]a_n+1 - a_n[/tex] и достига до [tex]<=> a_n ^ 2<1[/tex] ,което очевидно е изпълнено.Задачите бяха на Общински кръг в 11 клас в Плевен.От Плевен ли си,или просто задачите се дублират

От Левски съм!, но дори видях,че в профилирана подготовка май не се учи индукция!А на геометричната задача такив глупости съм писал,че ме е срам като се се сетя.....

[ganka simeonova]

В 11 клас в ПП се учи индукция.

[Ксения Цочева]

Относно 2 задача първо доказваме,че [tex]a_n>0[/tex] за всяко n,което следва по индукция.От това отново по индукция допускаме,че [tex]a_n<1[/tex] Тогава [tex]a_n+1<\frac{1+\sqrt{4} }{ 3} < 1[/tex] ,с което а) е доказана.
За б) от а) имаме ,че [tex]0<a_n<1[/tex] и имаме ограниченост.Остава да докажем монотонност.Разписваме [tex]a_n+1 - a_n[/tex] и достига до [tex]<=> a_n ^ 2<1[/tex] ,което очевидно е изпълнено.Задачите бяха на Общински кръг в 11 клас в Плевен.От Плевен ли си,или просто задачите се дублират

От Левски съм!, но дори видях,че в профилирана подготовка май не се учи индукция!А на геометричната задача такив глупости съм писал,че ме е срам като се се сетя.....

На олимпиада 1-ви кръг по принцип 1 и 2 задача са задължителна,а 3-та - профилирана подготовка.Нормално е да не знаеш какво е индукция,но тя се учи при въвеждането на редици в 11-ти клас

[baroveca]

На олимпиада 1-ви кръг по принцип 1 и 2 задача са задължителна,а 3-та - профилирана подготовка.Нормално е да не знаеш какво е индукция,но тя се учи при въвеждането на редици в 11-ти клас

Ами тъй като ние не сме профил математика, изобщо не сме споменавали индукциятя. А за втора задача- не сме решавали подобна задача да докажем,че точките лежат на окръжността. И тази година няма да имам успех...жалко...Но скоро видях олимпиада за 11 клас от преди време, където нямаше никаква задача по геометрия. И трите бяха алгебра- аритметична, геометрична прогресия и параметрични уравнения и неравенства. ....ехх ако ми се беше паднала такава олимпиада....но това е до късмет...жалко... само се изложих с глупостите на втора задача,които написах...

[Станислав]

В Пловдив беше доста лесна - до 25 минута ми остана само 2 б), на която трябваше да се сещам за формулите за разположение на корени на квадратно уравнение. 20 минути по-късно и тя падна