Задачи от общински кръг по математика - 12.02.2011

[Eleshaar]

Здравейте. Може ли малко помощ със задачите от общинския кръг днес (12.02)

Зад 2. Дадена е пирамида ABCDM, с основа ABCD - трапед, AB = 2a, AD = BC = CD = a. Стената BCM е перпендикулярна на основата, а CM = DM = b. Да се намери обема на пирамидата, да се докаже че около пирамидата може да се опише сфера и да се намери повърхнината на тази сфера.

Обема го намерих, но имах проблеми с доказателството за сферата, понеже почти нямам ЗИП часове.

Зад 3. Да се докаже че ако\alpha , \beta и \gamma са ъгли в триъгълник и
Sin^2 a + Sin^2 b + Sin^2 c = 2
, то триъгълника е правоъгълен.

Реших я като допуснах че триъгълника е правоъгълен и доказах тъждеството. Сигурен съм че може да се реши без допускане, но не ми са получи. Ако някой ми помогне малко ще съм много благодарен.

За съжаление не помня точно някои числа от 1-ва задача и немога да я напиша. Ако някой я има ще му бъда благодарен да напише решението и тук. Мерси

[baroveca]

В трета задача след синусите това страните на триъгълника ли са а,b,c или алфа, бета и гама?

[Eleshaar]

алфа, бета и гама. А ^2 - ще рече на квадрат. Не съм свикнал с LaTeX системата

[baroveca]

Ето и моето решение. Прилагаме синусова терема три пъти. [tex]\frac{a}{sin\alpha } =2R=>sin\alpha =\frac{a}{2R }[/tex]
[tex]\frac{b}{sin\beta } =2R=>sin\beta =\frac{b}{ 2R}[/tex]
[tex]\frac{c}{sin\gamma } =2R=>\sin\gamma =\frac{c}{2R }[/tex] Заместваме намерените стойности на синусите.
[tex](\frac{a}{ 2R} )^2+(\frac{b}{2R } )^2+(\frac{c}{ 2R} )^2=2[/tex]

[tex]\frac{a^2}{ 4R^2} +\frac{b^2}{4R^2 } +\frac{c^2}{ 4R^2} =2[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]
В правоъгълен триъгълник знаем,че [tex]R=\frac{c}{ 2}[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=8\frac{c^2}{ 4}[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=2c^2[/tex]

[tex]a^2+b^2=2c^2-c^2[/tex]

[tex]a^2+b^2=c^2[/tex]
Задачата е доказана! Ехх, защо не ми се падна и на мен такава задача....за кой клас е?

[Eleshaar]

Ето и моето решение. Прилагаме синусова терема три пъти. [tex]\frac{a}{sin\alpha } =2R=>sin\alpha =\frac{a}{2R }[/tex]
[tex]\frac{b}{sin\beta } =2R=>sin\beta =\frac{b}{ 2R}[/tex]
[tex]\frac{c}{sin\gamma } =2R=>\sin\gamma =\frac{c}{2R }[/tex] Заместваме намерените стойности на синусите.
[tex](\frac{a}{ 2R} )^2+(\frac{b}{2R } )^2+(\frac{c}{ 2R} )^2=2[/tex]

[tex]\frac{a^2}{ 4R^2} +\frac{b^2}{4R^2 } +\frac{c^2}{ 4R^2} =2[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=8R^2[/tex]
В правоъгълен триъгълник знаем,че [tex]R=\frac{c}{ 2}[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=8\frac{c^2}{ 4}[/tex]

[tex]a^2+b^2+c^2=2c^2[/tex]

[tex]a^2+b^2=2c^2-c^2[/tex]

Задачата е за 12-ти клас . Работата е там, че не съм сигурен дали метода с допускане, че триъгълника е правоъгълен ще ми бъде признат. Затова търся отговор без такова допускане. Ти също го използваш

В правоъгълен триъгълник знаем,че [tex]R=\frac{c}{ 2}[/tex]

[baroveca]

Ами то още в самото условие ти е дадено,че триъгълника и правоъгълен, а ти трябва само да го докажеш в зависимост от дадената ти информация... а в правоъгълен триъгъник е известно,че средата на хипотенузата е център на описаната около триъгълника окръжност!

[Eleshaar]

Не дадено ми е:
Sin^2 a + Sin^2 b + Sin^2 c = 2
а аз трябва да докажа че триъгълника е правоъгълен. Точния текст не го помня, но това е същността на задачата

[Ксения Цочева]

Не съм много съгласна с допускането.Не можем да допуснем,че нещо е вярно и чрез това допускане да докажем верността му.Дори не винаги е ясно,че твърдението е валидно и в двете посоки.Ето и моето решение:
Използваме формулата за косинус на удвоен ъгъл [tex]cos2\varphi=1-2sin^2 \varphi[/tex]
Заместваме:
[tex]\frac{1-cos2\alpha }{2 } + \frac{1-cos2\beta }{2 } + \frac{1-cos2\gamma }{ 2} = 2[/tex]
[tex]<=>cos2\alpha + cos2\beta+cos2\gamma+1=0[/tex] [tex]1=cos0^\circ[/tex] и чрез формула за сбор от косинуси получаваме:
[tex]<=>2cos\gamma(1-cos(\alpha-\beta)=0[/tex]
Откъдето или [tex]\gamma = 90^\circ[/tex] или [tex]\alpha = \beta[/tex] .Вероятно в условието е споменато,че триъгълникът е разностранен,откъдето следва и отговора.

[Eleshaar]

Дори не винаги е ясно, че твърдението е валидно и в двете посоки.

Точно това ма претесняваше. Благодаря за бързите отговори

[zhivko_sh]

Това с допускането не е вярно. Решението с преобразуванията също има малка грешка - там в скобата вместо 1 трябва да е [tex]cos \gamma[/tex]. Оттам ще получиш и другите 2 възможности (другите 2 ъгъла да са 90).
Решението само от края личи, че има грешка, защото иначе, като проведеш същите разсъждения за другите ъгли, ще получиш, че и трите са равни на 90, което не е на добре ...

[Ксения Цочева]

Това с допускането не е вярно. Решението с преобразуванията също има малка грешка - там в скобата вместо 1 трябва да е [tex]cos \gamma[/tex]. Оттам ще получиш и другите 2 възможности (другите 2 ъгъла да са 90).
Решението само от края личи, че има грешка, защото иначе, като проведеш същите разсъждения за другите ъгли, ще получиш, че и трите са равни на 90, което не е на добре ...

Ох,да,извинявам се за което.Грешката е в изнасянето на [tex]cos_2\gamma[/tex]
С поправката става [tex]2cos\gamma(cos\gamma-cos(\alpha -\beta) = 0[/tex]
[tex]\gamma=90^\circ \cup \gamma=\alpha-\beta[/tex] Б.О.О. за ъгли в триъгълник ,откъдето следва.