задача

[jivko7]

някой може ли да ми обясни как да реша тази задача моля.
да се докаже че уравнението x^2+5=y^3 няма решение в цели числа.

[Ксения Цочева]

Първо разглеждаме равенството по модул 9 и спрямо остатъците,които дават [tex]x^2[/tex] и [tex]y^3[/tex] определяме [tex]3/y[/tex] После разглеждаме равенството по модул 27 и установяваме,че [tex]x^2+5[/tex] ≡ [tex]5,6,9,14,21,31,26,15,24[/tex] ≠ 0 (mod 27) => противоречие
(още в началото [tex]y^3=x^2+5 > 0[/tex] => x,y -естествени)

[mkmarinov]

(още в началото [tex]y^3=x^2+5 > 0[/tex] => x,y -естествени)

Лека неточност. Оттук следва само, че у е естествено.

[Ксения Цочева]

(още в началото [tex]y^3=x^2+5 > 0[/tex] => x,y -естествени)

Лека неточност. Оттук следва само, че у е естествено.

Да,напълно си прав.Но тъй като x участва само с квадрат,то за всяко x<0 съответното -x е решение и затова разглеждаме само естествени числа.Не го написах,понеже реших,че е очевидно

[zhivko_sh]

По-сериозна неточност: x^2+5 може да е 0 по модул 27 (например когато x е 7 по модул 27).
Идеята на задачата е следната: записваме даденото като x^2+4=(y-1)(y^2+y+1) и после доказваме, че някое от y-1 и y^2+y+1 има прост делител от вида 4к+3. Оттам (както е добре известно) той ще дели и x, и 2 - противоречие.

[mkmarinov]

Оттам (както е добре известно) той ще дели и x, и 2 - противоречие.

Би ли обяснил това по-подробно защо това е така? Не съм го срещал.

[Станислав]

Опитай се да го докажеш с помощта на Малката теорема на Ферма

[drago]

То по принцип всичко опира до малката теорема на Ферма, обаче...
Маринов,
погледни някъде в Интернет за квадратични остатъци по модул просто число, символ на Льожандър и други такива щуротии. -4 не може да е кв. остатък по модул просто p, ако p=4k+3.
Ako ходиш по състезания, (а виждам, че го правиш) това не трябва да ти е бяло петно. Както виждаш все още дават и задачи с подобни идеи.

[mkmarinov]

Нека е изпълнено: [tex]x^2 \equiv -4 (mod 4k+3) /^{2k+1}[/tex]
От теоремата на Ферма:
[tex](x^2)^{2k+1} = x^{4k+2} \equiv 1 \equiv (-4)^{2k+1} (mod 4k+3)[/tex]
[tex]4^{2k+1} \equiv -1 (mod 4k+3)[/tex]
[tex]2^{4k+2} \equiv -1 (mod 4k+3)[/tex] - противоречие.

То било лесно . Лесно излиза и обобщението [tex]-a^2[/tex] не е квадратичен остатък по модул 4k+3.

Стига преди това да знам какво търся.
Можете ли да ми дадете линк към "основни задачи", използвани в решаването на задачи от ТЧ? Благодаря предварително.

За символ на Льожандър ще погледна в едно е-книжле на Бойваленков - мята ми се из главата, че го има там, но никога не съм запомнил какво е.

[Станислав]

Верен е и по-силният факт: Ако за простото число [tex]p[/tex] е в сила [tex]p|a^2+b^2[/tex] и [tex]p=4k+3[/tex], то [tex]p|a[/tex] и [tex]p|b[/tex]. Допускаме противното [tex]a^2\equiv-b^2(mod p)[/tex]. Повдигаме на [tex]\frac{p-1}{2}=2k+1[/tex], т. е нечетна степен и получаваме [tex]a^{p-1}\equiv -b^{p-1} (mod~p)\Leftrightarrow 1\equiv -1 (mod p)\Rightarrow p=2[/tex]-противоречие.

[Станислав]

mkmarinov, подозирам, че говориш за просто число [tex]p[/tex] от вида [tex]4k+3[/tex] и тогава e елементарно: [tex](\frac{-a^2}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{a^2}{p})=-1[/tex], с което твърдението беше доказано.