Тригонометрична - f(sinx) + f(cosx) > 196

[Mechkov]

Не че разбирам много от тригонометрия, ама ми е гадна:
Имаме [tex]f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex]:
[tex]f(tg2 \alpha ) = {tg^4\alpha} + {cotg^4 \alpha}[/tex] за всяко [tex]\alpha \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})[/tex]
Да се докаже, че за произволно [tex]x \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})[/tex]
[tex]f(\sin{x}) + f(\cos{x}) \ge 196[/tex]

[martin123456]

[tex]tg2\alpha=\frac{2tg\alpha}{1-tg^2\alpha}[/tex]. Полагаме [tex]tg\alpha = x[/tex]. По условие имаме следната зависимост [tex]f(\frac{2x}{1-x^2})=x^4+\frac{1}{x^4}[/tex]. Записваме го като [tex]f(\frac{2}{\frac{1}{x}-x})=x^4+\frac{1}{x^4}[/tex]. Полагаме [tex]\frac{1}{x}-x=y[/tex]. Повдигаме на квадрат [tex]\frac{1}{x^2}+x^2=y^2+2[/tex]. Пак повдигаме на квадрат [tex]\frac{1}{x^4}+x^4=y^4+4y^2+2[/tex]. Заместваме във функционалната зависимост [tex]f(\frac{2}{y})=y^4+4y^2+2[/tex]. Полагаме [tex]z=\frac{2}{y}[/tex] тогава [tex]y=\frac{2}{z}[/tex] и замествайки във функционалната зависимост получаваме [tex]f(z)=\frac{16}{z^4}+\frac{16}{z^2}+2[/tex].

Тогава [tex]f(\sin{x})+f(\cos{x})=\frac{16}{\sin{x}^4}+\frac{16}{\sin{x}^2}+\frac{16}{\cos{x}^4}+\frac{16}{\cos{x}^2}+4=16\frac{1-2\sin^2{x}\cos^2{x}}{\sin^4{x}\cos^4{x}}+16\frac{1}{\sin^2{x}\cos^2{x}}+4[/tex][tex]=\frac{16}{t^2}-\frac{32}{t}+\frac{16}{t}+4=\frac{16}{t^2}-\frac{16}{t}+4[/tex], където сме положили [tex]t=\sin^2{x}\cos^2{x}[/tex].
Трябва да докажем, че [tex]\frac{16}{t^2}-\frac{16}{t}+4>196 \Leftrightarrow \frac{4}{t^2}-\frac{4}{t}+1 > 49 \Leftrightarrow \frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}>12[/tex]. Като вземем предвид, че [tex]t>0[/tex], то неравенството е еквивалентно на [tex]1-t>12t^2 \Leftrightarrow 12t^2+t-1<0[/tex]. [tex]D=49[/tex], [tex]t_1=\frac{-1 -7}{24}=-\frac{1}{3}[/tex], [tex]t_2=\frac{-1+7}{24}=\frac{1}{4}[/tex]. Значи ако [tex]t <\frac{1}{4}[/tex] неравенството е вярно. Имаме [tex]t=\frac{4\sin^2{x}\cos^2{x}}{4}=\frac{\sin^2{2x}}{4} < \frac{1}{4}[/tex] за ддадения в условието отворен интетрвал.