Функция за която |f(x)-x|<1

[Baronov]

Нека [tex]f:S\rightarrow S[/tex] е непрекъсната функция от единичната сфера в тримерното пространство такава, че разстоянието от всяка точка до образа и е по-малко от 1. Да се докаже, че всяка точка от сферата има поне един прообраз.

Да се докаже същото и когато S е единичната окръжност (това може да е очевидно, ама сега ми се спи и не ми се мисли).

[Mechkov]

Какво ще рече "прообраз"?

[Baronov]

Какво ще рече "прообраз"?

За всяка точка х от сферата може да намерим поне едно y за което [tex]f(y)=x[/tex].

[mkmarinov]

[tex]f(x)=\frac{x}{2}[/tex]
Изпълнява всичките условия (непрекъсната, разстоянието между всяка точка и образа й е по-малко от 1), но точките от единичната сфера нямат първообраз.
Да не би да съм разбрал условието грешно?

[Baronov]

[tex]f(x)=\frac{x}{2}[/tex]
Изпълнява всичките условия (непрекъсната, разстоянието между всяка точка и образа й е по-малко от 1), но точките от единичната сфера нямат първообраз.
Да не би да съм разбрал условието грешно?

[tex]f:S\rightarrow S[/tex]

[drago]

Хубава задача!!
Интересно дали, като я пускаш, разполагаш със срванително елементарно доказателство на този факт за двумерната сфера(единичната сфера в тримерното пространство)? Имам предвид доказателство, което става за този раздел.
Иначе факта е следствие от теоремата на Борсук-Улам: За всяко непрекъснато изображение f от n-мерната сфера [tex]\mathbb{S}^n[/tex] в [tex]\mathbb{R}^n[/tex] съществуват противоположни точки x, -x [tex]\in \mathbb{S}^n[/tex] , за които f(x)=f(-x). (n-мерна сфера означава единичната сфера в [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex]).
В случая n=2. Ako допуснем противното на задачата, то ще има точка [tex]x_0[/tex] без прообраз. Тогава, ако g e произволна непрекъсната 1-1 ф-я:[tex]g: \, \mathbb{S}^2 \setminus x_0 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex], то [tex]g \circ f[/tex] ще удовлетворява условията на теоремата на Борсук-Улам и тогава ще има две точки x, -x [tex]\in \mathbb{S}^2[/tex], f(x)=f(-x), което пък ще противоречи с условието |f(x)-x| < 1, за поне една от двете x или -x.
За случая с ед. окръжност ([tex]\mathbb{S}^1[/tex]) има елементарно доказатеслсво, там |f(x)-x| < 1 може да се замени с по-слабото: |f(x)-x| < 2. Интересно е дали това е вярно и за [tex]\mathbb{S}^2[/tex] ?

[Baronov]

Единственото решение, което знам е с Борсук-Улам. Падна ми се на един изпит и ми хареса и затова реших да я пусна. Може би трябваше да я сложа във форума за висша математика, но избрах този, защото е по-посещаван, а и ми беше интересно дали има елементарно решение.

[drago]

Единственото решение, което знам е с Борсук-Улам. Падна ми се на един изпит и ми хареса и затова реших да я пусна. Може би трябваше да я сложа във форума за висша математика, но избрах този, защото е по-посещаван, а и ми беше интересно дали има елементарно решение.

OK, приятелю,
хубаво си направил, че си я постнал. Достави ми удоволствие. Замислял ли си се, че може да се усили? Имам предвид ако условието е: |f(x)-x| < k, то за какво к може да се твърди същото. Явно със същата техника(Борсук-Улам) за двумерната сфера к може да се увеличи до [tex]\sqrt 2[/tex]. , но не повече. От друга страна к не може да е по-гол. от 2. За едномерната окръжност при k=2 е достатъчно да се твърди същото.
Всъщност като видях за пръв път тази задача, първото, което ми хрумна е следния подход. Да се опитаме да докажем следното:
(1). Нека f e непрекъсната, [tex]f: S^2 \rightarrow S^2 \setminus x_0[/tex], то f има неподвижна точка.
Ако това е вярно, и означим [tex]\phi (x) = f(-x)[/tex] , то може да приложим горното за [tex]\phi(x)[/tex] и ще получим, че има x, т.ч. f(x)= -x, което ще доведе до противоречие с |f(x)-x| < 2.
За [tex]S^1[/tex] , (1) е вярно, доказва се лесно от съобръжения за непрекъснатост ,като разгледаме [tex]x \rightarrow x_0[/tex] от едната и от другата страна на x_0.
Дали обаче (1) е вярно за [tex]S^2[/tex]. След като не можах бързо да си отговоря на този въпрос, се насочих към по обходни пътища.
Сега като помислих, мисля че това не е вярно, и почти съм измислил контрапример, но иска по-обстойна проверка.
Между другото, онази задача за трите компактни множества, които могат да бъдат разполовени с една равнина също е едно упражнение върху Борсук-Улам.

[Baronov]

Единственото решение, което знам е с Борсук-Улам. Падна ми се на един изпит и ми хареса и затова реших да я пусна. Може би трябваше да я сложа във форума за висша математика, но избрах този, защото е по-посещаван, а и ми беше интересно дали има елементарно решение.

OK, приятелю,
хубаво си направил, че си я постнал. Достави ми удоволствие. Замислял ли си се, че може да се усили? Имам предвид ако условието е: |f(x)-x| < k, то за какво к може да се твърди същото. Явно със същата техника(Борсук-Улам) за двумерната сфера к може да се увеличи до [tex]\sqrt 2[/tex]. , но не повече. От друга страна к не може да е по-гол. от 2. За едномерната окръжност при k=2 е достатъчно да се твърди същото.
Всъщност като видях за пръв път тази задача, първото, което ми хрумна е следния подход. Да се опитаме да докажем следното:
(1). Нека f e непрекъсната, [tex]f: S^2 \rightarrow S^2 \setminus x_0[/tex], то f има неподвижна точка.
Ако това е вярно, и означим [tex]\phi (x) = f(-x)[/tex] , то може да приложим горното за [tex]\phi(x)[/tex] и ще получим, че има x, т.ч. f(x)= -x, което ще доведе до противоречие с |f(x)-x| < 2.
За [tex]S^1[/tex] , (1) е вярно, доказва се лесно от съобръжения за непрекъснатост ,като разгледаме [tex]x \rightarrow x_0[/tex] от едната и от другата страна на x_0.
Дали обаче (1) е вярно за [tex]S^2[/tex]. След като не можах бързо да си отговоря на този въпрос, се насочих към по обходни пътища.
Сега като помислих, мисля че това не е вярно, и почти съм измислил контрапример, но иска по-обстойна проверка.
Между другото, онази задача за трите компактни множества, които могат да бъдат разполовени с една равнина също е едно упражнение върху Борсук-Улам.

Това (1) сега (2ч. през нощта) ми изглежда очевидно. Всяка несюрективна функция [tex]S^n\rightarrow S^n[/tex] има степен (degree, не знам как е на български) 0, от друга страна, ако функцията няма неподвижни точки, степента е [tex](-1)^n[/tex].

[drago]

Да..., май си прав, благодаря за това, че ме светна!
Това че несюрективна непрекъсната ф-я [tex]S^n \rightarrow S^n[/tex] има неподвижна точка (твърдението в (1) за n=2) е някак интуитивно ясно, за n=1 е почти очевидно. Не знам защо по-късно си промених мнението.
Една несъществена корекция: степента на непрекъсната [tex]f: \, S^n \rightarrow S^n[/tex] без неподвижна точка e [tex](-1)^{n+1}.[/tex]