Задачка от училищно състезание

[zdravkobg]

Нека x, y [tex]\in[/tex] R са такива, че [tex]x^{3 }[/tex]+[tex]y^{3 }[/tex]=4xy. Докажете, че: x+y≤4 и [tex]x^{2 }[/tex]+[tex]y^{2 }[/tex]≤8. Моля ако някой я реши да постне решението, много ми е спешно. Благодаря предварително.

[MathBet]

[tex]x^{3} + y^{3} = 4xy[/tex]
[tex](x + y)(x^{2} - xy + y^{2}) = 4xy[/tex]
Тук делим да [tex]xy[/tex], като приемаме, че [tex]xy[/tex] е различно от нула. Ако [tex]xy[/tex] е равно на нула, то се доказва, че и [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са равни на нула и условието е отново изпълнено.
[tex]\frac{(x + y)(x^{2} - xy + y^{2})}{xy} = 4[/tex]
Тук делим на [tex]x + y[/tex] също различно от нула. Ако е равно на нула, то условието лесно се доказва, като дори равенството [tex]x + y = 4[/tex] се достига при [tex]x = 2, y = 2[/tex].
[tex]\frac{x^{2} - xy + y^{2}}{ xy} = \frac{4}{x + y}[/tex]
[tex]((\frac{x}{y } + \frac{y}{x })) - 1 = \frac{4}{x + y }[/tex]
Ограденото в двойни скоби е неравенството на Коши, което е по-голямо или равно на 2. Като извадим едно лявата страна на уравнението става по-голяма или равна на единица. Откъдето пък следва, че [tex]x + y[/tex] е по-малко или равно на четири.

[zdravkobg]

След като постнах задачата се опитах пак да я реша и изкарах горе долу същото. Все пак благодаря за хвърления труд.

[ganka simeonova]

Ограденото в двойни скоби е неравенството на Коши, което е по-голямо или равно на 2. Като извадим едно лявата страна на уравнението става по-голяма или равна на единица. Откъдето пък следва, че [tex]x + y[/tex] е по-малко или равно на четири.

A, кога е в сила неравенството на Коши?

[mkmarinov]

Ограденото в двойни скоби е неравенството на Коши, което е по-голямо или равно на 2. Като извадим едно лявата страна на уравнението става по-голяма или равна на единица. Откъдето пък следва, че [tex]x + y[/tex] е по-малко или равно на четири.

A, кога е в сила неравенството на Коши?

При всички реални числа? =)

[ganka simeonova]

Ограденото в двойни скоби е неравенството на Коши, което е по-голямо или равно на 2. Като извадим едно лявата страна на уравнението става по-голяма или равна на единица. Откъдето пък следва, че [tex]x + y[/tex] е по-малко или равно на четири.
A, кога е в сила неравенството на Коши?
При всички реални числа? =)

Значи, ако приложа цитираното от теб и матбет=> всяко число събрано с неговото реципрочно е по- голямо или равно на 2?

[ganka simeonova]

[tex]x^{3} + y^{3} = 4xy[/tex]
[tex](x + y)(x^{2} - xy + y^{2}) = 4xy[/tex]
Тук делим да [tex]xy[/tex], като приемаме, че [tex]xy[/tex] е различно от нула. Ако [tex]xy[/tex] е равно на нула, то се доказва, че и [tex]x[/tex] и [tex]y[/tex] са равни на нула и условието е отново изпълнено.
[tex]\frac{(x + y)(x^{2} - xy + y^{2})}{xy} = 4[/tex]
[Тук делим на [tex]x + y[/tex] също различно от нула. Ако е равно на нула, то условието лесно се доказва, като дори равенството [tex]x + y = 4[/tex] се достига при [tex]x = 2, y = 2[/tex].
[tex]\frac{x^{2} - xy + y^{2}}{ xy} = \frac{4}{x + y}[/tex]
[tex]((\frac{x}{y } + \frac{y}{x })) - 1 = \frac{4}{x + y }[/tex]
Ограденото в двойни скоби е неравенството на Коши, което е по-голямо или равно на 2. Като извадим едно лявата страна на уравнението става по-голяма или равна на единица. Откъдето пък следва, че [tex]x + y[/tex] е по-малко или равно на четири.

[zdravkobg]

Всъщност неравенство на Куши е: средно аритметично ≥ средно геометрично. По точно: [tex]\frac{x+y}{2 } \ge \sqrt{xy}[/tex]. Валидно е за всички [tex]x, y \in R[/tex]. Предполагам, че е валидно и за комплексните числа.

[mkmarinov]

Всъщност неравенство на Куши е: средно аритметично ≥ средно геометрично. По точно: [tex]\frac{x+y}{2 } \ge \sqrt{xy}[/tex]. Валидно е за всички [tex]x, y \in R[/tex]. Предполагам, че е валидно и за комплексните числа.

Предполагам, че не разбираш нито думичка от това, което написа.

Ганке, неравенството на Коши е вярно за всички реални числа. Просто това, което той е написал, не е неравенството на Коши.

Иначе, неравенството на Коши, в едната си формулировка, гласи:
[tex]|\vec{a}.\vec{b}| \le |\vec{a}|.|\vec{b}|[/tex]

[1089]

a vsa6nost zada4ata e za polojitelni 4isla...

[mkmarinov]

a vsa6nost zada4ata e za polojitelni 4isla...

Никъде не пише, че е за положителни.

[Ксения Цочева]

Ограденото в двойни скоби е неравенството на Коши, което е по-голямо или равно на 2. Като извадим едно лявата страна на уравнението става по-голяма или равна на единица. Откъдето пък следва, че [tex]x + y[/tex] е по-малко или равно на четири.
A, кога е в сила неравенството на Коши?
При всички реални числа? =)

Значи, ако приложа цитираното от теб и матбет=> всяко число събрано с неговото реципрочно е по- голямо или равно на 2?

Твърдението "Значи, ако приложа цитираното от теб и матбет=> всяко число събрано с неговото реципрочно е по- голямо или равно на 2?" е вярно само за положителни числа.За отрицателно е в следния вид:всяко число,събрано със своето реципрочно,е по-малко или равно на -2.Това следва от разглеждане на квадратна функция(неравенство) относно x за [tex]x + \frac{1}{x }[/tex].

[mkmarinov]

Твърдението "Значи, ако приложа цитираното от теб и матбет=> всяко число събрано с неговото реципрочно е по- голямо или равно на 2?" е вярно само за положителни числа.За отрицателно е в следния вид:всяко число,събрано със своето реципрочно,е по-малко или равно на -2.Това следва от разглеждане на квадратна функция(неравенство) относно x за [tex]x + \frac{1}{x }[/tex].

Тук може и да разчитам доста на късмета си, но мисля че въпросът беше риторичен.

[1089]

a vsa6nost zada4ata e za polojitelni 4isla...

Никъде не пише, че е за положителни.

истинското условие е за положителни. задачата е давана на 3 кръг олимпиада за 7 клас миналата година. бил сам на това състезание (и спечелил) a по принцип не забравям

[Mechkov]

Защо в раздел "олимпиади за 9 - 12 клас" се обсъжда дали [tex]x + y \ge 2\sqrt{xy}[/tex] за x и y... комплексни числа? Към автора на тази брилятна мисъл, която премахна сивотата от деня ми - поклон!

P.S. Иначе [tex]AM \ge GM[/tex] е известно и като н-во на Коши. На Коши е баси якото д-во с индукцията от [tex]n[/tex] към [tex]2n[/tex] и след това за [tex]n - 1[/tex]. [tex]|\vec{a}.\vec{b}| \le |\vec{a}|.|\vec{b}|[/tex] е Коши - Буняковски - Шварц, в рускоезичната литература най - често е Коши - Буняковски, а в англоезичната - Cauchy - Schwartz.

[ganka simeonova]

Не понасям, когато в училищната математика се нахакат и комплексните числа.
Явно се слагат за "престиж" от съотвтния автор.
Мечков е прав.
Ако н-вото на Коши е изпълнено за всяко комплексно число, това означава да сравняме комплексни числа!
Те не се сравняват, защото няма наредба м/у тях!