Cubic equation x^3+x-1=0

[man111]

If [tex]x^3+x-1=0[/tex] has a roots [tex]\alpha,\beta[/tex] and [tex]\gamma[/tex] .then Calculate [tex]\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma} =[/tex]

[mkmarinov]

[tex]S=\frac{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}{\alpha \beta \gamma}=\frac{(\alpha + \beta + \gamma)^2 -2 (\alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma)}{\alpha \beta \gamma}[/tex]
[tex]\alpha \beta \gamma = -\frac{-1}{1}=1[/tex]
[tex]\alpha + \beta + \gamma = 0[/tex]
[tex]\alpha \beta + \beta \gamma + \alpha \gamma = \frac{1}{1}=1[/tex]
So, [tex]S=-2[/tex].

[man111]

[tex]\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma} = \frac{\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha+\alpha^2\beta}{\alpha\beta\gamma}[/tex]

[jamesb007]

Видях, че тази "задача" седи от доста време, та реших да я пробвам. Направих логичното/Виет/ и ми излезе нещо асиметрично за α и β/което не е нелогично, защото и S e такова.../ Чак тогава се замислих, че щом трябва да пресметнем S,то трябва да можем Б.О.О. да отъждествяваме α,β и γ с корените на уравнението. Т.е. при смяната на α с β и β с α, да получим една и съща стойност за S...т.е. [tex]\frac{\beta}{\alpha}[/tex]+[tex]\frac{\gamma}{\beta}[/tex]+[tex]\frac{\alpha}{\gamma}[/tex] = [tex]\frac{\alpha}{\beta}[/tex]+[tex]\frac{\gamma}{\alpha}[/tex]+[tex]\frac{\beta}{\gamma}[/tex]. Взимаме предвид αβγ=1 =>/след малко сметки/α=β или γ=-α или -β, но корените на уравнението са един реален и а±bi.Така че си мисля, че има грешка в условието
Кажете къде греша...
Иначе с това уравнение, намерих да се пресметне ∑[tex]\frac{1+\alpha}{1-\alpha}[/tex] = -7

[nevrodermit]

[tex]x^3+x-1=0[/tex]
[tex]s_1=\frac{\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha+\alpha^2\beta}{\alpha\beta\gamma}[/tex]

From the Vieta's formulas: [tex]\sum_{cyc}{\alpha}=0, \sum_{cyc}\alpha\beta=1, \prod_{cyc}\alpha=1[/tex] and hence [tex]s_1=\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha+\alpha^2\beta[/tex]

Let [tex]s_2=\beta^2\alpha+\gamma^2\beta+\alpha^2\gamma[/tex]

So
[tex]0=(\beta^2+\gamma^2+\alpha^2)(\gamma+\alpha+\beta)=s_1+s_2+\sum_{cyc}\alpha^3[/tex]
Note that [tex]\sum_{cyc}\alpha^3=\sum_{cyc}{(1-\alpha)}=3[/tex]
[tex]\Rightarrow s_1+s_2=-3[/tex]

Also
[tex]s_1s_2=(\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha+\alpha^2\beta)(\beta^2\alpha+\gamma^2\beta+\alpha^2\gamma)=\sum_{cyc}{(\beta^4\gamma\alpha+\beta^3\gamma^3+\beta^2\gamma^2\alpha^2)}=\sum_{cyc}{(\beta^3+\beta^3\gamma^3+1)}[/tex][tex]=\sum_{cyc}\alpha^3+\sum_{cyc}\alpha^3\beta^3+3=6+\sum_{cyc}\alpha^3\beta^3=6+\sum_{cyc}{(1-\alpha)(1-\beta)}[/tex]
[tex]=6+\sum_{cyc}{(1-\alpha-\beta+\alpha\beta)}=6+3-2\sum_{cyc}\alpha+\sum_{cyc}{\alpha\beta}=9+1=10[/tex]

So [tex]s_{1,2}[/tex] are the roots of [tex]t^2+3t+10=0[/tex]. It's [tex]D=9-40=-31\Rightarrow s_i=\frac{-3\pm i\sqrt{31}}{2}[/tex]

Clearly, we can permute the roots as we want so both answers are solutions.