Редици - интересен факт

[Станислав]

Ето и един факт, който ми се стори крайно интригуващ.
За всяка растяща редица от естествени числа [tex](a_n)_{n\ge1}[/tex], за която [tex]\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n}=0[/tex], редицата [tex](\frac{n}{a_n})_{n\ge1}[/tex] съдържа всички естествени числа. Нещо повече, за безброй много [tex]n[/tex] е вярно, че [tex]n|a_n[/tex].

[mkmarinov]

А редицата строго растяща ли е, или не?

П.П. предолагам, че не е.

[Станислав]

Ако беше строго растяща щеше ли да е възможно [tex]\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}=0[/tex]? Имай предвид, че е редица от естествени числа

[Ксения Цочева]

А би ли привел и доказателство?

[zhivko_sh]

Ако не се лъжа това трябва да работи:
1 се среща в редицата [tex]\frac{n}{ a_{n}}[/tex]: ако допуснем, че 1 не се среща, то [tex]a_{1}\ge 2[/tex], тогава [tex]a_{2}\ge 2[/tex] и [tex]a_{2}\ne 2[/tex] следователно [tex]a_{2}\ge 3[/tex] и по индукция [tex]a_{n}\ge n+1[/tex], което е противоречие.
Сега ще докажем, че произволно число t се среща: полагаме [tex]b_{n}=t.a_{n}[/tex]. Тогава новата редица изпълнява условието и значи 1 се среща в [tex]\frac{n}{ b_{n}}[/tex]. Тогава за съответното n, за което това е станало, сме имали [tex]\frac{n}{ a_{n}}=t[/tex].