USAMTS задачка

[strangerforever]

Даден е триъгълник ABC, нека точката М е средата на AB и N - средата на AC. В четириъгълника NMBC е вписана окръжност, допираща се до всичките четири страни, и допираща се до MN в точка X. Окръжността вписана в AMN се допира до MN в точка Y, където Y e между X и N. Ако XY = 1 и BC = 12, да се намерят AB и AC.

[mkmarinov]

AB=19, AC=17

Накратко и решението:
От MBCN - описан => MN+BC=18=BM+CN => AB+AC=36 (1)
Нека окръжността, вписана в MBCN, се допира до ВС в т. Т. BT=BM-MX (2).
От XY=1 => NY+MX=5=(AM+MN+AN)/2-AM+MX=12-AM+MX => AM-MX=7 => BT=7.
Оттук CT=5=24-AB.

[strangerforever]

AB=19, AC=17

Да, толкова, задачата не е нищо особено, но могат да се появят интересни и разнообразни доказателства.

[mkmarinov]

Изпревари ме, тамън написвах решението .

[L.e.o]

AB = 19
AC = 17