30 поредни нули в 5^n

[drago]

Съществува ли точна степен на числото 5, сред първите 100 цифри на която има 30 поредни нули?
(Задачата е давана на някаква руска олимпиада преди доста време,)

[dimy93]

Много готина задача ама нз откъде да я забочна-дай 1 рамо

[drago]

Една от задачите, която като се обобщи става по-лесна.
Да се докаже, че за всяко естествено N, може да се намери точна степен на 5 която започва (в десетичен запис) с N.

[mkmarinov]

[tex]5^n=\frac{10^n}{2^n}[/tex]. Достатъчно е да се докаже, че уравнението [tex]p=[\frac{10^r}{2^n}][/tex] има решение за всяко естествено р. Еквивалентно е на [tex]p\le \frac{10^r}{2^n}<p+1[/tex]
[tex]p2^n\le 10^r <(p+1)2^n[/tex]
[tex]10^r \in [p2^n; (p+1)2^n)[/tex]
Или за всяко p съществува n такова, че [tex]p2^n, (p+1)2^n[/tex] са с различен брой цифри. Което е вече очевидно.

[drago]

Сори, ама това не мога да го захапя още от началото. Може и в мен да е причината.

[mkmarinov]

Цифрите на [tex]5^n[/tex] са същите като ненулевите цифри след дробната запетайка в десетичният запис на [tex]\frac{1}{2^n}[/tex].
От горенаписаното следва, че първите k цифри на [tex]5^n[/tex] могат да се дадат с формулата [tex]10^r[\frac{1}{2^n}]=[\frac{10^r}{2^n}][/tex] за някое r (възможно е и да има зависимост между r и k, нас това не ни засяга). Оттук следва и това, което съм написал за р.

[Станислав]

Една от задачите, която като се обобщи става по-лесна.
Да се докаже, че за всяко естествено N, може да се намери точна степен на 5 която започва (в десетичен запис) с N.

Теорема на Кронекер. Използва се ирационалността на [tex]\lg 5[/tex].
ПП Сега е ясно, че избираме [tex]N[/tex] да е такова, че да съдържа 30 последователни 0 сред първите си 100 цифри.

[drago]

Цифрите на [tex]5^n[/tex] са същите като ненулевите цифри след дробната запетайка в десетичният запис на [tex]\frac{1}{2^n}[/tex].
От горенаписаното следва, че първите k цифри на [tex]5^n[/tex] могат да се дадат с формулата [tex]10^r[\frac{1}{2^n}]=[\frac{10^r}{2^n}][/tex] за някое r (възможно е и да има зависимост между r и k, нас това не ни засяга). Оттук следва и това, което съм написал за р.

OK, сега загрях.
Обаче защо:
"...за всяко p съществува n такова, че [tex]p2^n, (p+1)2^n[/tex] са с различен брой цифри. Което е вече очевидно..."
Не че се заяждам, виждам идеята и е възможно това да е оригиналната идея. За съжаление там откъдето видях задачата нямаше посочено решение.
Недостатъка е, че ако може да се направи без теоремата на Кронекер, по този начин, ще става само за степени на 5. Същото е вярно и за 7^n и въобще за А^n стига lgA да е ирационално. Този подход за тези случаи няма как да работи.

[mkmarinov]

Прав си, трябва да се докаже, но доказателството не ми изглежда сложно.
Ще поясниш ли (на прост език) що гласи теоремата на Кронекер? Намереното в уикипедия не ми помогна.

[drago]

ok, но в събота, днес не мога.
Ако дотогава някой друг не постне цялото решение.

[Станислав]

Теорема на Кронекер: Множеството [tex]m\alpha-n[/tex], където [tex]m,n\in\mathbb{N}[/tex], a [tex]\alpha[/tex] е ирационално, е гъсто.

[drago]

Да, това е една версия на теоремата на Кронекер. ДРуга версия е че: [tex]\{m \alpha \}[/tex] e гъсто в [0,1]. [tex]\{.\}[/tex] означава дробната част. Всъщност не знам какво точно е доказал Кронекер навремето, но сега под това име е известен един по-силен от горното факт, че [tex]\{m \alpha \}[/tex] попадат в някакъв смисъл равномерно в [0,1]. В какъв точно смисъл може да се виде wikipedia.
Сега решението на задачата. Значи трябва да намерим [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], т.ч. да [tex]\exists l \in \mathbb{N}, \, N 10^n \le 5^l \lt N.10^n +10^n.\, \Rightarrow[/tex]
[tex]A=log_5 N + n log_5 10 \le \, l \, \lt log_5(N+1) + n log_5 10 = B[/tex]
B-A е фиксирано число, независещо от n, да го означим с [tex]\epsilon[/tex].
Значи трябва да намерим n, т.ч.:
[tex]1-\epsilon \lt \{ log_5 N + n log_5 10 \}[/tex].
Сега на помощ идва теоремата на Кронекер...