Триъгълник и среда

[ins-]

Точка P е произволно избрана и е вътрешна за страната AB на триъгълника ABC. M е среда на CP. През върховете A и B са построени съответно прави k и l, успоредни на CP. Пресечната точки на BM и k е означена с N. Пресечната точка на AМ и l е означена с k (N и Q са външни за ABC). Да се докаже, че N, C и Q лежат на една права.

[inveidar]

Продължаваме АС и ВС до пресичането им с успоредните прави съответно в точки T и L. Ясно е, че PBTC и APCL са два трапеца със среди на основите M и Q за първия и M и N за втория(Теорема на Щайнер! Виж по-долу!). Ясно е, предполагам, и че ABTL също е трапец със среди на основите N и Q и пресечна точка на диагоналите C. Сега твърдението на задачата следва от теоремата на Щайнер, която гласи, че средите на основите, пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на продълженията на бедрата на трапец лежат на една права. Тази теорема се доказва елементарно с лица, т.е задачата може да се предложи спокойно на олимпиада за 7-ми клас.

[0xdeadbeef]

Нека правата [tex]CP \cap NQ = X[/tex].

[tex]\triangle PMA[/tex] е подобен на [tex]\triangle BQA[/tex] : [tex]\frac{PM}{BQ} = \frac{AM}{AQ}[/tex] или [tex]PM = BQ\frac{AM}{AQ}[/tex] [tex](1)[/tex]

[tex]\triangle BQM[/tex] е подобен на [tex]\triangle ANM[/tex] : [tex]\frac{AN}{BQ} = \frac{AM}{MQ}[/tex], от където [tex]\frac{AM}{AQ} = \frac{AM}{AM + MQ} = \frac{AN}{BQ + AN}[/tex] [tex](2)[/tex]

от [tex](1)[/tex] и [tex](2)[/tex], намираме [tex]PM = \frac{BQ.AN}{BQ + AN}[/tex].

Аналогично [tex]MX = \frac{BQ.AN}{BQ + AN}[/tex].

Сега [tex]PM=MX[/tex], но [tex]PM = MC[/tex] или [tex]C \equiv X[/tex]

[strangerforever]

Продължаваме АС и ВС до пресичането им с успоредните прави съответно в точки T и L. Ясно е, че PBTC и APCL са два трапеца със среди на основите M и Q за първия и M и N за втория(Теорема на Щайнер! Виж по-долу!). Ясно е, предполагам, и че ABTL също е трапец със среди на основите N и Q и пресечна точка на диагоналите C. Сега твърдението на задачата следва от теоремата на Щайнер, която гласи, че средите на основите, пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на продълженията на бедрата на трапец лежат на една права. Тази теорема се доказва елементарно с лица, т.е задачата може да се предложи спокойно на олимпиада за 7-ми клас.

Би ли я доказал седмокласно теоремата?

[ins-]

Благодаря за решенията! Дано да Ви е харесала задачата. Не е от най-трудните, но зависи кой я решава ,
а и няма смисъл да пусна нещо, причиняващо много главоболия.

[inveidar]

Продължаваме АС и ВС до пресичането им с успоредните прави съответно в точки T и L. Ясно е, че PBTC и APCL са два трапеца със среди на основите M и Q за първия и M и N за втория(Теорема на Щайнер! Виж по-долу!). Ясно е, предполагам, и че ABTL също е трапец със среди на основите N и Q и пресечна точка на диагоналите C. Сега твърдението на задачата следва от теоремата на Щайнер, която гласи, че средите на основите, пресечната точка на диагоналите и пресечната точка на продълженията на бедрата на трапец лежат на една права. Тази теорема се доказва елементарно с лица, т.е задачата може да се предложи спокойно на олимпиада за 7-ми клас.

Би ли я доказал седмокласно теоремата?

Ще докажем, че средите на основите M и N и пресечната точка на продълженията на бедрата лежат на една права. Да допуснем, че това не е така, т.е MK пресича CD в точка L, която е различна от средата N. Тогава:

xxx.JPG (21.7 KiB) Прегледано 521 пъти

Пак така се доказва и че средите на основите и пресечната точка на диагоналите лежат на една права.