Вписан четириъгълник

[ins-]

Нека ABCD е четириъгълник, вписан в окръжност k. P е пресечната точка на продълженията на страните AD и BC. С PM и PN са означени допирателните от P към k, а Q е пресечната точка на диагоналите на ABCD. Да се докаже, че M, Q и N - лежат на една права.

http://mathworld.wolfram.com/Polar.html - леко допълнение

Интересува ме как посоченото твърдение може да се докаже без използване на инверсия, поляра и други твърдения, които не се изучават в СОУ.

[Станислав]

Извинявай, ама защо пускаш задачата в раздел олимпиади 9-12 клас и търсиш решение с изученото в училищния материал?

[ins-]

Защо не? Трябва да има адреналин. Не може всеки път да целим врабчетата с топ. Ще е достъпна за по-широк кръг от хора също, а и ще се видят различни гледни точки. Един приятел спомена, че има кратко доказателство, базиращо се на теоремата на Pascal, а и най-вероятно би могла да се избута с подобности/тригонометрия.

[ubuntu]

MNxBC=H и MNxAD=T.P,C,H,B и P,D,T,A са в хармонично отношение ,от което директно следва ,че MN,AB и CD се пресичат в една точка L.От друга страна A,Q,C и S (ACxPL=S) също са в хармонично отношението , което вече доказва това , което ни трябваше.Един начин да покажете , че P,C,H,B са в хар. отношение е да докажете , че P'H е ъглополовяща на <BP'C (P' е пета на височината ,спусната от P към MN).

[Станислав]

Ins, като искаше тръпка защо просто не пусна задачата в друг раздел?

[ins-]

Защото, ако погледнеш твърдението, дадено в линка (картинката най-отдолу) - представлява 2 в 1 - първата част е обобщение на задача от китайската олимпиада през 1996 година, а втората - задача предлагана на същата олимпиада, но през 1997 година. По-олимпийска задача - здраве му кажи.
Благодаря на ubuntu за предложеното решение. Не съм в кондиция в момента да го проследя, но вярвам, че е елегантно и максимално просто. Който може - го може. Като имам време - ще пусна решенията, които имам.

[Станислав]

Защото, ако погледнеш твърдението, дадено в линка (картинката най-отдолу) - представлява 2 в 1 - първата част е обобщение на задача от китайската олимпиада през 1996 година, а втората - задача предлагана на същата олимпиада, но през 1997 година. По-олимпийска задача - здраве му кажи.

Е, тогава да искаш решение с училищен материал е меко казано пресилено...

[Baronov]

Защото, ако погледнеш твърдението, дадено в линка (картинката най-отдолу) - представлява 2 в 1 - първата част е обобщение на задача от китайската олимпиада през 1996 година, а втората - задача предлагана на същата олимпиада, но през 1997 година. По-олимпийска задача - здраве му кажи.

Е, тогава да искаш решение с училищен материал е меко казано пресилено...

Не те разбирам, темата е в "Олимпиади и Състезания за 9-12 клас". Всичко спомента до тук (полярно съответствие, т-ма на Паскал, двойно отношение) влиза в училищния материал за подготовка за състезания. Ако темата беше пусната в раздел "Кандидат-студентски задачи" или някой беше дал решение използващо висша математика, щях да разбера оплакването ти.

[Станислав]

Ти можеше да си направиш и труда да прочетеш постовете, за да разбереш какво точно искам да кажа. Човекът пуснал задачата иска решение, ползващо училищния материал. Тогава да я беше пуснал в друг раздел. Обезмисля се тогава факта, че задачата е в задачи за олимпиади 9-12 клас. Айде и със здраве ;]

[mkmarinov]

А задачите от олимпиади не се ли решават с училищния материал?

И ми се иска да попитам, какво точно означава хармонично отношение?

[Станислав]

А на самите олимпиади има ли ограничение, че трябва да бъдат решени с училищен материал? Хармонично отношение може да научиш от тази полезна статия - http://reflections.awesomemath.org/2007 ... vision.pdf

[ubuntu]

Ако ins беше пуснал тази задача в друг раздел вероятността някой да и беше обърнал внимание е почти нулева, сигурно защото е по-наложително да се напише някое домашно (мое мнение).Аз наскоро постнах една тема с задача на ниво 8-9 клас , но засега не съм видял някой да е писал нещо по нея , така че донякъде разбирам ins.В крайна сметка всички изброени неща могат да се докажат с училищен материал и не на последно място не мисля , че е 'пресилено' ins да иска решение , в което теория като споменатата да е сведена до минумум или въобще да липсва такава.Ето един пример: Вижте доказателство I начин - http://www.esnips.com/doc/187ca016-0582 ... 0%B8%D1%8F

[ins-]

Искам да се извиня, че не пускам обещаните решения. Просто бях толкова изморен, че като тръгвах си забравих лаптопа и всичко е там. Вместо това ще пусна друга задача, която измислих.