Няколко задачи от M+

[strangerforever]

1. Ако за реалните неотрицателни числа x и y е изпълнено условието [tex]x^2 + y^2 = 3[/tex], да се докаже, че [tex](x+y)^3\ge 9xy[/tex] . Нека [tex]n \ge 3[/tex] и [tex]x_1, x_2, ..., x_n[/tex] са реални неотрицателни числа, за които [tex]x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 3[/tex]. Да се докаже неравенството

[tex](x_1 + x_2 + ... + x_n)^3 \ge 9(x_1x_2 + x_1x_3 + ... +x_{n-1}x_n)[/tex].


2. В [tex]\Delta ABC[/tex] мерките на ъглите при върховете A, B и C са съответно [tex]\alpha < 60^\circ[/tex] , [tex]\beta < 60^\circ[/tex] и [tex]\gamma > 90^\circ[/tex] . Да се докаже, че върху Ойлеровата права l на триъгълника съществува точка P, за която [tex]\angle BPC = 3\alpha[/tex] и [tex]\angle APC = 3\beta[/tex].


3. Да се намерят реалните числа [tex]a_1, a_2, ... , a_n \in (1;+\infty), n\ge 1[/tex], които изпълняват едновременно условията [tex]a_1a_2...a_n = 2^n[/tex] и [tex]log_{a_1}(a_1 - 1) + log_{a_2}(a_2 - 1) + ... + log_{a_n}(a_n - 1) = 0[/tex].


4. Да се докаже неравенството [tex]a + \sqrt{ab} + \sqrt[3]{abc} + \sqrt[4]{abcd} < 1,43(a + b + c + d)[/tex], където a, b, c и d са положителни реални числа.

[martin123456]

1
a) [tex]2xy = (x+y)^2-x^2-y^2=(x+y)^2-3[/tex]. Неравенството е [tex]\Leftrightarrow 2(x+y)^3\ge 9(x+y)^2-27[/tex]. Нека [tex]u=x+y[/tex]. Неравенството е [tex]\Leftrightarrow 2u^3-9u^2+27 \ge 0[/tex]. Като разгледаме [tex]f(u)=2u^3-9u^2+27[/tex] имаме [tex]f'(u)=6u^2-18u=6u(u-3)[/tex]. Анулира се за [tex]u = 0[/tex] и [tex]u=3[/tex], [tex]u \ge 0[/tex]. Значи локален мин в [tex]u=3[/tex]. [tex]f(3)=2.3^3-3^4+3^3=3^3(2-3+1)=0[/tex]. Значи неравенството е вярно.
b) [tex]2(x_1x_2+x_1x_3+\ldots+x_{n-1}x_n)=(x_1+x_2+\ldots+x_n)^2-x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2=[/tex][tex](x_1+x_2+\ldots+x_n)^2-3[/tex]. Полагаме [tex]u=x_1+x_2+\ldots+x_n[/tex]. Неравенството става [tex]2u^3 \ge 9u^2-27[/tex]. T.e. като а).

[martin123456]

4
Полагаме [tex]a=x^{12}[/tex], [tex]b=y^{12}[/tex], [tex]c=z^{12}[/tex], [tex]d=t^{12}[/tex]. Неравенството става [tex]x^{12}+x^6y^6+x^4y^4z^4+x^3y^3z^3t^3<1.43(x^{12}+y^{12}+z^{12}+t^{12})[/tex]. Разглеждаме функцията [tex]f(s)=1.43s^4-s.x^3y^3z^3-x^4y^4z^4-x^6y^6-x^{12}+1.43(x^{12}+y^{12}+z^{12})[/tex], където [tex]s=t^3[/tex]. Имаме [tex]f'(s)=5.72s^3-x^3y^3z^3[/tex]. Анулира се за [tex]s=\frac{xyz}{\sqrt[3]{5.72}}[/tex] и там има минимум. Значи [tex]f(s) \ge f(\frac{xyz}{\sqrt[3]{5.72}})=\frac{1.43x^4y^4z^4}{5.72\sqrt[3]{5.72}}-\frac{x^4y^4z^4}{\sqrt[3]{5.72}}-x^4y^4z^4-x^6y^6-x^{12}+1.43(x^{12}+y^{12}+z^{12})[/tex]. Полагаме [tex]k=\frac{-3}{4\sqrt[3]{5.72}}-1[/tex]. Тогава [tex]f(s) \ge kx^4y^4z^4-x^6y^6-x^{12}+1.43(x^{12}+y^{12}+z^{12})[/tex]. Разглеждаме [tex]g(p)=1.43p^3+kp.x^4y^4-x^6y^6-x^{12}+1.43(x^{12}+y^{12})[/tex], където [tex]p=z^4[/tex]. Дотук имаме [tex]f(s) \ge g(p)[/tex]. Имаме [tex]g'(p)=4.29p^2+kx^4y^4[/tex]. Анулира се за [tex]p=\frac{\sqrt{-k}x^2y^2}{\sqrt{4.29}}[/tex]. Там има минимум, значи [tex]g(p) \ge g(\frac{\sqrt{-k}x^2y^2}{\sqrt{4.29}})[/tex]. Значи [tex]g(p) \ge \frac{-k\sqrt{-k}x^6y^6}{3\sqrt{4.29}}+\frac{k\sqrt{-k}x^6y^6}{\sqrt{4.29}}-x^6y^6-x^{12}+1.43(x^{12}+y^{12})[/tex]. Полагаме [tex]l=\frac{2k\sqrt{-k}}{3\sqrt{4.29}}-1[/tex]. Имаме [tex]g(p) \ge lx^6y^6-x^{12}+1.43(x^{12}+y^{12})=0.43x^{12}+lx^6y^6+1.43y^{12}[/tex]. Разглеждаме го като квадратен израз относно [tex]x^6[/tex] и твърдим, че дискриминантата е отрицателна. [tex]D=y^{12}(l^2-4x0.43x1.43)[/tex]. Т.е. трябва да проверим, че [tex]l^2 < 2.4596[/tex]. Трябва да сметнем сега означените променливи. [tex]k=\frac{-3}{4\sqrt[3]{5.72}}-1=-1,4193686103143948774888011210486[/tex], [tex]l=-1,5442806434714241312309148471499[/tex]. Значи [tex]l^2=2,3848027058005157702282278347766[/tex]. И оттук задачата излиза.