Вписан четириъгълник и среда

[ins-]

Четириъгълник [tex]ABCD[/tex] е вписан в окръжност [tex]k[/tex]. Правите [tex]AB[/tex] и [tex]CD[/tex] се пресичат в точка [tex]E[/tex], а правите [tex]AD[/tex] и [tex]BC[/tex] се пресичат в точка [tex]F[/tex]. Ако [tex]P[/tex] е втората пресечната точка на [tex]k[/tex] и окръжността, описана, около триъгълника [tex]CEF[/tex], а [tex]M[/tex] - пресечната точка на правата [tex]AP[/tex] и отсечката [tex]EF[/tex], да се докаже, че [tex]M[/tex] е среда на [tex]EF[/tex].
(Точките [tex]E[/tex] и [tex]F[/tex] са в различна полуравнина от [tex]A[/tex] спрямо диагонала [tex]BD[/tex])

[pipi langstrump]

Може ли някой да качи чертеж, по-малък и с черни линии по възможност?

[inveidar]

Това устройва ли те?

zzz.JPG (18.77 KiB) Прегледано 312 пъти

[pipi langstrump]

Екстра е, мерси.

[Hena]

Нека <PAD=α => <PFE=α.Нека <BAP=β => <BCP=<PEF=β.Нека и <PEA=γ.Тогава от ▲PME:ME/PM=sin(β+γ)/sinβ,▲PMF:PM/MF=sinα/sin(α+2β+γ) =>ME/MF=sin(β+γ).sinα/sin(α+2β+γ).sinβ.От друга страна от ▲AMF:MF/AM=sinα/sin(α+2β+γ),▲AME:AM/ME=sin(β+γ)/sinβ => MF/ME=sinα.sin(β+γ)/sin(α+2β+γ).sinβ => ME/MF=MF/ME => ME=MF.

[inveidar]

aaaa.JPG (20.93 KiB) Прегледано 274 пъти

Та както в поста по-горе [tex]\Delta MPE \sim \Delta MEA \Rightarrow ME^{2}=MP.MA[/tex].
Аналогично [tex]\Delta MPF \sim \Delta MFA \Rightarrow MF^{2}=MP.MA[/tex]. Следователно [tex]ME=MF[/tex].

[ins-]

Задачата не е трудна. Оказа се, че има много решения, включително и такова с материал за 8-ми клас.
Дано да сте се забавлявали.