f(f(...(f(x)...) =1

[drago]

Дадена е непрекъсната функция: [tex]f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] със свойството: за всяко [tex]x \in \mathbb{R}[/tex] съществува [tex]n \in \mathbb{N}[/tex], такова че [tex]f(f(...(f(x)...) =1 \, ,(f[/tex] е взето [tex]n[/tex] пъти). Да се докаже, че [tex]f(1)=1.[/tex]

[Baronov]

Случай 1. Функцията има неподвижна точка, [tex]f(a)=a[/tex]. От условието [tex]f^n(a)=1\Rightarrow a=1[/tex]

Случай 2. Функцията няма неподвижни точки. От непрекъснатост следва, че [tex]f(x)>x[/tex] за всяко х или [tex]f(x)<x[/tex] за всяко х. Без ограничение първото е вярно. Но тогава [tex]f^n(2)>2>1[/tex] за всяко n. Противоречие.

[drago]

Не мога да го напиша по-кратко от това!