Неравенство-d2

[dim]

Нека [tex]a,b,c,d\ge 0[/tex], такива че: [tex]3(a+b+c+d)+4(abc+bcd+cda+dab) = 8[/tex]. Да се докаже:
[tex]ab+ac+bc+ad+bd+cd\le 2[/tex]

[martin123456]

полагаме [tex]S_1=a+b+c+d[/tex], [tex]S_2=ab+ac+bc+ad+bd+cd[/tex], [tex]S_3=abc+bcd+cda+dab[/tex].
разглеждаме [tex]f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)[/tex]. той има 4 неотрицателни реални корена. [tex]f(x)=x^4-S_1x^3+S_2x^2-S_3x+abcd[/tex]. [tex]f'(x)=4x^3-3x^2S_1+2S_2x-S_3[/tex]. От т-мата на Рол [tex]f'(x)[/tex] има 3 неотрицателни корена. [tex]f'(x)=4(x-y_1)(x-y_2)(x-y_3)[/tex]. нека [tex]S'_1=y_1+y_2+y_3[/tex], [tex]S'_2=y_1y_2+y_1y_3+y_2y_3[/tex], [tex]S'_3=y_1y_2y_3[/tex]. значи [tex]f'(x)=4x^3-4S'_1x^2+4S'_2x-4S'_3[/tex]. като приравним коефициентите следва [tex]S_1=\frac{4S'_1}{3}[/tex], [tex]S_2=\frac{4S'_2}{2}[/tex], [tex]S_3=4S'_3[/tex].

оригиналната задача е [tex]3S_1+4S_3=8[/tex]. Док [tex]S_2 \leq 2[/tex].
сега тя се преобразува в [tex]4S'_1+16S'_3=8[/tex]<=>[tex]S'_1+4S'_3=2[/tex]. Док [tex]S'_2 \leq 1[/tex], или все едно [tex]x,y,z \geq 0[/tex], [tex]x+y+z+4xyz=2[/tex]. Док [tex]xy+yz+zx \leq 1[/tex].

което още не съм доказал, но мисля че така задачата е по лесна

[babev58]

Приложи същата техника за да го сведеш към неравенство за корените на квадратен тричлен Интересно е дали има решение, което не използва теоремата на Рол

[martin123456]

не може да се приложи същата техника

[martin123456]

[tex]x,y,z \geq 0[/tex], [tex]x+y+z+4xyz=2[/tex]. Док [tex]xy+yz+zx \leq 1[/tex].

нека [tex]x\leq y \leq z[/tex]. [tex]2 \leq 3z+4z^3[/tex], [tex]4z^3+3z -2 \geq 0[/tex], [tex]3(z-\frac{1}{2})+4(z^3-\frac{1}{8})=(z-\frac{1}{2})(3+4z^2+\frac{z}{8}+\frac{1}{4})=\frac{1}{8}(z-\frac{1}{2})(32z^2+z+26)[/tex]. значи [tex]z \geq \frac{1}{2}[/tex]. аналогично [tex]x \leq \frac{1}{2}[/tex].
тъй като [tex]y(1+4xz)=2-x-z[/tex], то трябва да док, че [tex]\frac{x(2-x-z)}{1+4xz}+\frac{z(2-x-z)}{1+4xz}+zx\leq 1[/tex], [tex]\frac{(2-(x+z))(x+z)}{1+4xz}+xz \leq 1[/tex]. полагаме [tex]x+z=a[/tex], [tex]xz=b[/tex]. неравенството става [tex]\frac{(2-a)a}{1+4b}+b \leq 1[/tex], [tex]2a-a^2+b+4b^2 \leq 1+4b[/tex], [tex]4b^2-3b-(a-1)^2 \leq 0[/tex]. [tex]0 \geq (x-\frac{1}{2})(z-\frac{1}{2})=b-\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}[/tex]=>[tex]4b \leq 2a-1[/tex]. дискриминантата е положителна, имаме 2 реални корена, един отрицателен, другия положителен. [tex]b>0[/tex]. aко [tex]f(\frac{2a-1}{4})\leq 0[/tex]. тогава ще следва неравенството. [tex]f(\frac{2a-1}{4})=(\frac{2a-1}{4})(2a-4)-(a-1)^2 \leq 0[/tex]. ясно че [tex]a \leq 2[/tex]. и ясно че [tex]a \geq \frac{1}{2}[/tex]. =>ок

п.с. след цял ден решаване най после излезна ))

[dim]

п.с. след цял ден решаване най после излезна ))

Яко решение. Не си си губил времето според мен